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簡約 (a+bi)^5

解

簡約

(a + bi)^{5}

解

(a^{5} - 10 a^{3} b^{2} + 5 a b^{4}) + (5 a^{4} b - 10 a^{2} b^{3} + b^{5}) i

解答ステップ

(a + bi)^{5}

2項定理を適用する:

(a + b)^{n} = i = 0 \sum n (i n) a^{(n - i)} b^{i}

a = a, b = bi

= i = 0 \sum 5 (i 5) a^{(5 - i)} (bi)^{i}

総和を展開する

= \frac{5 !}{0 ! ( 5 - 0 ) !} a^{5} (bi)^{0} + \frac{5 !}{1 ! ( 5 - 1 ) !} a^{4} (bi)^{1} + \frac{5 !}{2 ! ( 5 - 2 ) !} a^{3} (bi)^{2} + \frac{5 !}{3 ! ( 5 - 3 ) !} a^{2} (bi)^{3} + \frac{5 !}{4 ! ( 5 - 4 ) !} a^{1} (bi)^{4} + \frac{5 !}{5 ! ( 5 - 5 ) !} a^{0} (bi)^{5}

簡素化

\frac{5 !}{0 ! ( 5 - 0 ) !} a^{5} (bi)^{0} : a^{5}

簡素化

\frac{5 !}{1 ! ( 5 - 1 ) !} a^{4} (bi)^{1} : 5 i a^{4} b

簡素化

\frac{5 !}{2 ! ( 5 - 2 ) !} a^{3} (bi)^{2} : 10 i^{2} a^{3} b^{2}

簡素化

\frac{5 !}{3 ! ( 5 - 3 ) !} a^{2} (bi)^{3} : 10 i^{3} a^{2} b^{3}

簡素化

\frac{5 !}{4 ! ( 5 - 4 ) !} a^{1} (bi)^{4} : 5 i^{4} a b^{4}

簡素化

\frac{5 !}{5 ! ( 5 - 5 ) !} a^{0} (bi)^{5} : i^{5} b^{5}

= a^{5} + 5 i a^{4} b + 10 i^{2} a^{3} b^{2} + 10 i^{3} a^{2} b^{3} + 5 i^{4} a b^{4} + i^{5} b^{5}

10 i^{2} a^{3} b^{2} = - 10 a^{3} b^{2}

10 i^{3} a^{2} b^{3} = - 10 i a^{2} b^{3}

5 i^{4} a b^{4} = 5 a b^{4}

i^{5} = i

= a^{5} + 5 i a^{4} b - 10 a^{3} b^{2} - 10 i a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + i b^{5}

標準的な複素数形式で書き直す:

(a^{5} - 10 a^{3} b^{2} + 5 a b^{4}) + (5 a^{4} b - 10 a^{2} b^{3} + b^{5}) i

= (a^{5} - 10 a^{3} b^{2} + 5 a b^{4}) + (5 a^{4} b - 10 a^{2} b^{3} + b^{5}) i

人気の例

展開する cos(7t)(5+sinh(3t)+e^{2t})

e x p an d cos (7 t) (5 + sinh (3 t) + e^{2 t})

d/(dt)((h(t))(2.8t+2.5))

\frac{d}{d t} ((h (t)) (2.8 t + 2.5))

簡約 (4+5yi)^2

s im pl i f y (4 + 5 y i)^{2}

展開する x^{4/5}(x-2)^2

e x p an d x^{\frac{4}{5}} (x - 2)^{2}

展開する (3sin(x)+3cos(x))^2

e x p an d (3 sin (x) + 3 cos (x))^{2}