展開する (x^2+y^2+z^2)/2-((x+y+z)^2)/6

解

展開する

\frac{x ^{2} + y ^{2} + z ^{2}}{2} - \frac{( x + y + z ) ^{2}}{6}

\frac{x ^{2}}{3} - \frac{x y}{3} - \frac{x z}{3} + \frac{y ^{2}}{3} + \frac{z ^{2}}{3} - \frac{yz}{3}

解答ステップ

\frac{x ^{2} + y ^{2} + z ^{2}}{2} - \frac{( x + y + z ) ^{2}}{6}

(x + y + z)^{2} = 2 x y + 2 x z + x^{2} + y^{2} + 2 yz + z^{2}

= \frac{x ^{2} + y ^{2} + z ^{2}}{2} - \frac{x ^{2} + 2 x y + 2 x z + y ^{2} + 2 yz + z ^{2}}{6}

以下の最小公倍数:

2, 6 : 6

LCMに基づいて分数を調整する

= \frac{( x ^{2} + y ^{2} + z ^{2} ) \cdot 3}{6} - \frac{2 x y + 2 x z + x ^{2} + y ^{2} + 2 yz + z ^{2}}{6}

分母が等しいので, 分数を組み合わせる:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{( x ^{2} + y ^{2} + z ^{2} ) \cdot 3 - ( 2 x y + 2 x z + x ^{2} + y ^{2} + 2 yz + z ^{2} )}{6}

拡張

(x^{2} + y^{2} + z^{2}) \cdot 3 - (2 x y + 2 x z + x^{2} + y^{2} + 2 yz + z^{2}) : 2 x^{2} - 2 x y - 2 x z + 2 y^{2} + 2 z^{2} - 2 yz

= \frac{2 x ^{2} - 2 x y - 2 x z + 2 y ^{2} + 2 z ^{2} - 2 yz}{6}

共通項をくくり出す

2

= \frac{2 ( x ^{2} - x y - x z + y ^{2} + z ^{2} - yz )}{6}

共通因数を約分する:

2

= \frac{x ^{2} - x y - x z + y ^{2} + z ^{2} - yz}{3}

分数の規則を適用する:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{x ^{2} - x y - x z + y ^{2} + z ^{2} - yz}{3} = \frac{x ^{2}}{3} - \frac{x y}{3} - \frac{x z}{3} + \frac{y ^{2}}{3} + \frac{z ^{2}}{3} - \frac{yz}{3}

= \frac{x ^{2}}{3} - \frac{x y}{3} - \frac{x z}{3} + \frac{y ^{2}}{3} + \frac{z ^{2}}{3} - \frac{yz}{3}