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Beliebt Algebra >

solvefor y,(x+sqrt(x^2+1))(y+sqrt(y^2+1))=1

Lösung

löse nach

y, (x + x^{2} + 1) (y + y^{2} + 1) = 1

Lösung

y = x {x = 0}, y = - x

Schritte zur Lösung

(x + x^{2} + 1) (y + y^{2} + 1) = 1

Schreibe

(x + x^{2} + 1) (y + y^{2} + 1)

um:

y x + y^{2} + 1 x + y x^{2} + 1 + y^{2} + 1 x^{2} + 1

y x + y^{2} + 1 x + y x^{2} + 1 + y^{2} + 1 x^{2} + 1 = 1

Faktorisiere

y x + y^{2} + 1 x + y x^{2} + 1 + y^{2} + 1 x^{2} + 1 : (x^{2} + 1 + x) (y + y^{2} + 1)

(x^{2} + 1 + x) (y + y^{2} + 1) = 1

Quadriere beide Seiten:

4 y^{2} x^{2} + 4 y^{2} x x^{2} + 1 + 2 y^{2} + 4 y x^{2} y^{2} + 1 + 4 y x y^{2} + 1 x^{2} + 1 + 2 y y^{2} + 1 + 2 x^{2} + 2 x x^{2} + 1 + 1 = 1

4 y^{2} x^{2} + 4 y^{2} x x^{2} + 1 + 2 y^{2} + 4 y x^{2} y^{2} + 1 + 4 y x y^{2} + 1 x^{2} + 1 + 2 y y^{2} + 1 + 2 x^{2} + 2 x x^{2} + 1 + 1 = 1

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

4 y^{2} x^{2} + 4 y^{2} x x^{2} + 1 + 2 y^{2} + 4 y x^{2} y^{2} + 1 + 4 y x y^{2} + 1 x^{2} + 1 + 2 y y^{2} + 1 + 2 x^{2} + 2 x x^{2} + 1 + 1 - 1 = 1 - 1

Vereinfache

4 y^{2} x^{2} + 4 y^{2} x x^{2} + 1 + 2 y^{2} + 4 y x^{2} y^{2} + 1 + 4 y x y^{2} + 1 x^{2} + 1 + 2 y y^{2} + 1 + 2 x^{2} + 2 x x^{2} + 1 = 0

Verschiebe

4 y^{2} x^{2}

auf die rechte Seite

4 y^{2} x x^{2} + 1 + 2 y^{2} + 4 y x^{2} y^{2} + 1 + 4 y x y^{2} + 1 x^{2} + 1 + 2 y y^{2} + 1 + 2 x^{2} + 2 x x^{2} + 1 = - 4 x^{2} y^{2}

Verschiebe

4 y^{2} x x^{2} + 1

auf die rechte Seite

2 y^{2} + 4 y x^{2} y^{2} + 1 + 4 y x y^{2} + 1 x^{2} + 1 + 2 y y^{2} + 1 + 2 x^{2} + 2 x x^{2} + 1 = - 4 x^{2} y^{2} - 4 y^{2} x x^{2} + 1

Verschiebe

2 y^{2}

auf die rechte Seite

4 y x^{2} y^{2} + 1 + 4 y x y^{2} + 1 x^{2} + 1 + 2 y y^{2} + 1 + 2 x^{2} + 2 x x^{2} + 1 = - 4 x^{2} y^{2} - 4 y^{2} x x^{2} + 1 - 2 y^{2}

Verschiebe

2 x^{2}

auf die rechte Seite

4 y x^{2} y^{2} + 1 + 4 y x y^{2} + 1 x^{2} + 1 + 2 y y^{2} + 1 + 2 x x^{2} + 1 = - 4 x^{2} y^{2} - 4 y^{2} x x^{2} + 1 - 2 y^{2} - 2 x^{2}

Verschiebe

2 x x^{2} + 1

auf die rechte Seite

4 y x^{2} y^{2} + 1 + 4 y x y^{2} + 1 x^{2} + 1 + 2 y y^{2} + 1 = - 4 x^{2} y^{2} - 4 y^{2} x x^{2} + 1 - 2 y^{2} - 2 x^{2} - 2 x x^{2} + 1

Subtrahiere

- 4 x^{2} y^{2} - 4 y^{2} x x^{2} + 1 - 2 y^{2} - 2 x^{2} - 2 x x^{2} + 1

von beiden Seiten

4 y x^{2} y^{2} + 1 + 4 y x y^{2} + 1 x^{2} + 1 + 2 y y^{2} + 1 - (- 4 x^{2} y^{2} - 4 y^{2} x x^{2} + 1 - 2 y^{2} - 2 x^{2} - 2 x x^{2} + 1) = - 4 x^{2} y^{2} - 4 y^{2} x x^{2} + 1 - 2 y^{2} - 2 x^{2} - 2 x x^{2} + 1 - (- 4 x^{2} y^{2} - 4 y^{2} x x^{2} + 1 - 2 y^{2} - 2 x^{2} - 2 x x^{2} + 1)

Vereinfache

4 x^{2} y y^{2} + 1 + 4 x y y^{2} + 1 x^{2} + 1 + 2 y y^{2} + 1 + 4 x^{2} y^{2} + 4 x y^{2} x^{2} + 1 + 2 y^{2} + 2 x^{2} + 2 x x^{2} + 1 = 0

Faktorisiere

4 x^{2} y y^{2} + 1 + 4 x y y^{2} + 1 x^{2} + 1 + 2 y y^{2} + 1 + 4 x^{2} y^{2} + 4 x y^{2} x^{2} + 1 + 2 y^{2} + 2 x^{2} + 2 x x^{2} + 1 : 2 (2 x^{2} y y^{2} + 1 + 2 x y y^{2} + 1 x^{2} + 1 + y y^{2} + 1 + 2 x^{2} y^{2} + 2 x y^{2} x^{2} + 1 + y^{2} + x^{2} + x x^{2} + 1)

2 (2 x^{2} y y^{2} + 1 + 2 x y y^{2} + 1 x^{2} + 1 + y y^{2} + 1 + 2 x^{2} y^{2} + 2 x y^{2} x^{2} + 1 + y^{2} + x^{2} + x x^{2} + 1) = 0

Teile beide Seiten durch

2

2 x^{2} y y^{2} + 1 + 2 x y y^{2} + 1 x^{2} + 1 + y y^{2} + 1 + 2 x^{2} y^{2} + 2 x y^{2} x^{2} + 1 + y^{2} + x^{2} + x x^{2} + 1 = 0

Verschiebe

2 x^{2} y^{2}

auf die rechte Seite

2 x^{2} y y^{2} + 1 + 2 x y y^{2} + 1 x^{2} + 1 + y y^{2} + 1 + 2 x y^{2} x^{2} + 1 + y^{2} + x^{2} + x x^{2} + 1 = - 2 x^{2} y^{2}

Verschiebe

2 x y^{2} x^{2} + 1

auf die rechte Seite

2 x^{2} y y^{2} + 1 + 2 x y y^{2} + 1 x^{2} + 1 + y y^{2} + 1 + y^{2} + x^{2} + x x^{2} + 1 = - 2 x^{2} y^{2} - 2 x y^{2} x^{2} + 1

Verschiebe

y^{2}

auf die rechte Seite

2 x^{2} y y^{2} + 1 + 2 x y y^{2} + 1 x^{2} + 1 + y y^{2} + 1 + x^{2} + x x^{2} + 1 = - 2 x^{2} y^{2} - 2 x y^{2} x^{2} + 1 - y^{2}

Verschiebe

x^{2}

auf die rechte Seite

2 x^{2} y y^{2} + 1 + 2 x y y^{2} + 1 x^{2} + 1 + y y^{2} + 1 + x x^{2} + 1 = - 2 x^{2} y^{2} - 2 x y^{2} x^{2} + 1 - y^{2} - x^{2}

Verschiebe

x x^{2} + 1

auf die rechte Seite

2 x^{2} y y^{2} + 1 + 2 x y y^{2} + 1 x^{2} + 1 + y y^{2} + 1 = - 2 x^{2} y^{2} - 2 x y^{2} x^{2} + 1 - y^{2} - x^{2} - x x^{2} + 1

Faktorisiere

2 x^{2} y y^{2} + 1 + 2 x y y^{2} + 1 x^{2} + 1 + y y^{2} + 1 : y y^{2} + 1 (2 x^{2} + 2 x x^{2} + 1 + 1)

y y^{2} + 1 (2 x^{2} + 2 x x^{2} + 1 + 1) = - 2 x^{2} y^{2} - 2 x y^{2} x^{2} + 1 - y^{2} - x^{2} - x x^{2} + 1

Teile beide Seiten durch

y (2 x^{2} + 2 x x^{2} + 1 + 1)

y^{2} + 1 = \frac{- 2 x ^{2} y ^{2} - 2 x y ^{2} x ^{2} + 1 - y ^{2} - x ^{2} - x x ^{2} + 1}{y ( 1 + 2 x ^{2} + 2 x x ^{2} + 1 )}

Quadriere beide Seiten:

y^{2} + 1 = \frac{8 y ^{4} x ^{4} + 8 y ^{2} x ^{4} + 2 x ^{4} + 8 y ^{4} x ^{3} x ^{2} + 1 + 8 y ^{2} x ^{3} x ^{2} + 1 + 2 x ^{3} x ^{2} + 1 + 8 y ^{4} x ^{2} + 6 y ^{2} x ^{2} + x ^{2} + 4 y ^{4} x x ^{2} + 1 + 2 y ^{2} x x ^{2} + 1 + y ^{4}}{8 y ^{2} x ^{4} + 8 y ^{2} x ^{2} + 4 y ^{2} x x ^{2} + 1 + 8 y ^{2} x ^{3} x ^{2} + 1 + y ^{2}}

y^{2} + 1 = \frac{8 y ^{4} x ^{4} + 8 y ^{2} x ^{4} + 2 x ^{4} + 8 y ^{4} x ^{3} x ^{2} + 1 + 8 y ^{2} x ^{3} x ^{2} + 1 + 2 x ^{3} x ^{2} + 1 + 8 y ^{4} x ^{2} + 6 y ^{2} x ^{2} + x ^{2} + 4 y ^{4} x x ^{2} + 1 + 2 y ^{2} x x ^{2} + 1 + y ^{4}}{8 y ^{2} x ^{4} + 8 y ^{2} x ^{2} + 4 y ^{2} x x ^{2} + 1 + 8 y ^{2} x ^{3} x ^{2} + 1 + y ^{2}}

Löse

y^{2} + 1 = \frac{8 y ^{4} x ^{4} + 8 y ^{2} x ^{4} + 2 x ^{4} + 8 y ^{4} x ^{3} x ^{2} + 1 + 8 y ^{2} x ^{3} x ^{2} + 1 + 2 x ^{3} x ^{2} + 1 + 8 y ^{4} x ^{2} + 6 y ^{2} x ^{2} + x ^{2} + 4 y ^{4} x x ^{2} + 1 + 2 y ^{2} x x ^{2} + 1 + y ^{4}}{8 y ^{2} x ^{4} + 8 y ^{2} x ^{2} + 4 y ^{2} x x ^{2} + 1 + 8 y ^{2} x ^{3} x ^{2} + 1 + y ^{2}} : y = x, y = - x

y = x, y = - x

Überprüfe die Lösungen:

y = x {x = 0}, y = - x

Wahr

Die Lösungen sind

y = x {x = 0}, y = - x

Graph

Beliebte Beispiele

\sqrt[3]{x^3-19}=2

3 x^{3} - 19 = 2

sqrt(x-5)=-2sqrt(x+1)

x - 5 = - 2 x + 1

sqrt(x)-8=sqrt(x+4)

x - 8 = x + 4

-2+sqrt(3x+2)=x

- 2 + 3 x + 2 = x

sqrt(2x+9)-sqrt(x+1)=sqrt(x+4)

2 x + 9 - x + 1 = x + 4