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integral of (e^{-x})/((9e^{-2x)+1)^{3/2}}

解答

\int \frac{e ^{- x}}{( 9 e ^{- 2 x} + 1 ) ^{\frac{3}{2}}} d x

解答

- \frac{e ^{- x}}{( 1 + 9 e ^{- 2 x} ) ^{\frac{1}{2}}} + C

求解步骤

\int \frac{e ^{- x}}{( 9 e ^{- 2 x} + 1 ) ^{\frac{3}{2}}} d x

使用换元积分法

= \int - \frac{1}{( 9 u ^{2} + 1 ) ^{\frac{3}{2}}} d u

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \int \frac{1}{( 9 u ^{2} + 1 ) ^{\frac{3}{2}}} d u

使用三角换元法

= - \int \frac{1}{3 sec ( v )} d v

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \frac{1}{3} \cdot \int \frac{1}{sec ( v )} d v

使用三角恒等式改写

= - \frac{1}{3} \cdot \int cos (v) d v

使用积分常见定则:

\int cos (v) d v = sin (v)

= - \frac{1}{3} sin (v)

代回

= - \frac{1}{3} sin (arctan (3 e^{- x}))

化简

- \frac{1}{3} sin (arctan (3 e^{- x})) : - \frac{e ^{- x}}{( 1 + 9 e ^{- 2 x} ) ^{\frac{1}{2}}}

= - \frac{e ^{- x}}{( 1 + 9 e ^{- 2 x} ) ^{\frac{1}{2}}}

解答补常数

= - \frac{e ^{- x}}{( 1 + 9 e ^{- 2 x} ) ^{\frac{1}{2}}} + C

作图

流行的例子

derivative sqrt(1-x^2)

d er i v a t i v e 1 - x^{2}

(\partial)/(\partial x)(x/(x^2+y^2)-y^2)

\frac{\partial}{\partial x} (\frac{x}{x ^{2} + y ^{2}} - y^{2})

integral of sin(13x)

\int sin (13 x) d x

integral from 0 to 1 of ln(4x)

\int_{0}^{1} ln (4 x) d x

integral of-4/x

\int - \frac{4}{x} d x