integral of sqrt(9-t^2)

Lösung

\int 9 - t^{2} d t

\frac{9}{2} (arcsin (\frac{1}{3} t) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{3} t))) + C

Schritte zur Lösung

\int 9 - t^{2} d t

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int 9 cos^{2} (u) d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 9 \cdot \int cos^{2} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 9 \cdot \int \frac{1 + cos ( 2 u )}{2} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 9 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 9 \cdot \frac{1}{2} (\int 1 d u + \int cos (2 u) d u)

\int 1 d u = u

\int cos (2 u) d u = \frac{1}{2} sin (2 u)

= 9 \cdot \frac{1}{2} (u + \frac{1}{2} sin (2 u))

Setze in

u = arcsin (\frac{1}{3} t)

ein

= 9 \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{3} t) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{3} t)))

Vereinfache

9 \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{3} t) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{3} t))) : \frac{9}{2} (arcsin (\frac{1}{3} t) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{3} t)))

= \frac{9}{2} (arcsin (\frac{1}{3} t) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{3} t)))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{9}{2} (arcsin (\frac{1}{3} t) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{3} t))) + C

a re a x + 2, x^{5} + 2

\frac{d}{d x} (- 2 sec^{2} (x))

x^{2} d y = (y^{2} - x y + x^{2}) d x

d er i v a t i v e x + \frac{6}{x}

\frac{d}{d x} (\frac{e ^{4 x}}{x ^{20}})