integral of sin^5(6x)

Lösung

\int sin^{5} (6 x) d x

\frac{1}{6} (- cos (6 x) + \frac{2 cos ^{3} ( 6 x )}{3} - \frac{cos ^{5} ( 6 x )}{5}) + C

Schritte zur Lösung

\int sin^{5} (6 x) d x

Wende U-Substitution an

= \int sin^{5} (u) \frac{1}{6} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{6} \cdot \int sin^{5} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{1}{6} \cdot \int (1 - cos^{2} (u))^{2} sin (u) d u

Wende U-Substitution an

= \frac{1}{6} \cdot \int - 1 + 2 v^{2} - v^{4} d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{6} (- \int 1 d v + \int 2 v^{2} d v - \int v^{4} d v)

\int 1 d v = v

\int 2 v^{2} d v = \frac{2 v ^{3}}{3}

\int v^{4} d v = \frac{v ^{5}}{5}

= \frac{1}{6} (- v + \frac{2 v ^{3}}{3} - \frac{v ^{5}}{5})

Ersetze zurück

= \frac{1}{6} (- cos (6 x) + \frac{2 cos ^{3} ( 6 x )}{3} - \frac{cos ^{5} ( 6 x )}{5})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{6} (- cos (6 x) + \frac{2 cos ^{3} ( 6 x )}{3} - \frac{cos ^{5} ( 6 x )}{5}) + C