integral of e^{-st}sin(bt)

Lösung

\int e^{- s t} sin (b t) d t

- \frac{b e ^{- s t} cos ( b t )}{b ^{2} + s ^{2}} - \frac{s e ^{- s t} sin ( b t )}{b ^{2} + s ^{2}} + C

Schritte zur Lösung

\int e^{- s t} sin (b t) d t

Wende die partielle Integration an

= - e^{- s t} \frac{1}{b} cos (b t) - \int s e^{- s t} \frac{1}{b} cos (b t) d t

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - e^{- s t} \frac{1}{b} cos (b t) - s \frac{1}{b} \cdot \int e^{- s t} cos (b t) d t

Vereinfache

s \frac{1}{b} : \frac{s}{b}

= - e^{- s t} \frac{1}{b} cos (b t) - \frac{s}{b} \cdot \int e^{- s t} cos (b t) d t

Wende die partielle Integration an

= - e^{- s t} \frac{1}{b} cos (b t) - \frac{s}{b} (e^{- s t} \frac{1}{b} sin (b t) - \int - s e^{- s t} \frac{1}{b} sin (b t) d t)

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - e^{- s t} \frac{1}{b} cos (b t) - \frac{s}{b} (e^{- s t} \frac{1}{b} sin (b t) - (- s \frac{1}{b} \cdot \int e^{- s t} sin (b t) d t))

Vereinfache

- s \frac{1}{b} : - \frac{s}{b}

= - e^{- s t} \frac{1}{b} cos (b t) - \frac{s}{b} (e^{- s t} \frac{1}{b} sin (b t) - (- \frac{s}{b} \cdot \int e^{- s t} sin (b t) d t))

Deshalb

\int e^{- s t} sin (b t) d t = - e^{- s t} \frac{1}{b} cos (b t) - \frac{s}{b} (e^{- s t} \frac{1}{b} sin (b t) - (- \frac{s}{b} \cdot \int e^{- s t} sin (b t) d t))

Isoliere

\int e^{- s t} sin (b t) d t

= - \frac{b e ^{- s t} cos ( b t )}{b ^{2} + s ^{2}} - \frac{s e ^{- s t} sin ( b t )}{b ^{2} + s ^{2}}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - \frac{b e ^{- s t} cos ( b t )}{b ^{2} + s ^{2}} - \frac{s e ^{- s t} sin ( b t )}{b ^{2} + s ^{2}} + C

a re a y = 1 - x^{2}, y = x^{2} - 1

x^{3} y y^{^{'}} + x^{2} y^{2} = y^{5}

\frac{\partial}{\partial y} (x^{2} e^{- \frac{x}{y}})

\int 13 e^{u} d u

t an g e n t f (x) = x^{2} - 3 x + 5, at x = 2