inverselaplace 1/(s(s^2-1))

解答

的拉普拉斯逆变换

\frac{1}{s ( s ^{2} - 1 )}

- H (t) + \frac{1}{2} e^{- t} + \frac{1}{2} e^{t}

求解步骤

L^{- 1} {\frac{1}{s ( s ^{2} - 1 )}}

将

\frac{1}{s ( s ^{2} - 1 )}

用部份分式展开:

- \frac{1}{s} + \frac{1}{2 ( s + 1 )} + \frac{1}{2 ( s - 1 )}

= L^{- 1} {- \frac{1}{s} + \frac{1}{2 ( s + 1 )} + \frac{1}{2 ( s - 1 )}}

利用逆拉普拉斯变换的线性特性:

对于函数

f (s), g (s)

和常数

a, b : L^{- 1} {a \cdot f (s) + b \cdot g (s)} = a \cdot L^{- 1} {f (s)} + b \cdot L^{- 1} {g (s)}

= - L^{- 1} {\frac{1}{s}} + L^{- 1} {\frac{1}{2 ( s + 1 )}} + L^{- 1} {\frac{1}{2 ( s - 1 )}}

L^{- 1} {\frac{1}{s}} : H (t)

L^{- 1} {\frac{1}{2 ( s + 1 )}} : \frac{1}{2} e^{- t}

L^{- 1} {\frac{1}{2 ( s - 1 )}} : \frac{1}{2} e^{t}

= - H (t) + \frac{1}{2} e^{- t} + \frac{1}{2} e^{t}