integral of ln((x+2)/(x+1))

解答

\int ln (\frac{x + 2}{x + 1}) d x

ln (\frac{x + 2}{x + 1}) (x + 2) + ln ∣ x + 1 ∣ + C

求解步骤

\int ln (\frac{x + 2}{x + 1}) d x

使用换元积分法

= \int ln (\frac{u}{u - 1}) d u

使用分布积分法

= u ln (\frac{u}{u - 1}) - \int - \frac{1}{u - 1} d u

\int - \frac{1}{u - 1} d u = - ln ∣ u - 1 ∣

= u ln (\frac{u}{u - 1}) - (- ln ∣ u - 1 ∣)

u = x + 2

代回

= (x + 2) ln (\frac{x + 2}{x + 2 - 1}) - (- ln ∣ x + 2 - 1 ∣)

化简

= ln (\frac{x + 2}{x + 1}) (x + 2) + ln ∣ x + 1 ∣

解答补常数

= ln (\frac{x + 2}{x + 1}) (x + 2) + ln ∣ x + 1 ∣ + C