integral of e^{3x}(sin(3x)+cos(3x))

解

\int e^{3 x} (sin (3 x) + cos (3 x)) d x

\frac{1}{3} e^{3 x} sin (3 x) + C

解答ステップ

\int e^{3 x} (sin (3 x) + cos (3 x)) d x

拡張

e^{3 x} (sin (3 x) + cos (3 x)) : e^{3 x} sin (3 x) + e^{3 x} cos (3 x)

= \int e^{3 x} sin (3 x) + e^{3 x} cos (3 x) d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int e^{3 x} sin (3 x) d x + \int e^{3 x} cos (3 x) d x

\int e^{3 x} sin (3 x) d x = - \frac{e ^{3 x} cos ( 3 x )}{6} + \frac{e ^{3 x} sin ( 3 x )}{6}

\int e^{3 x} cos (3 x) d x = \frac{e ^{3 x} sin ( 3 x )}{6} + \frac{e ^{3 x} cos ( 3 x )}{6}

= (- \frac{e ^{3 x} cos ( 3 x )}{6} + \frac{e ^{3 x} sin ( 3 x )}{6}) + \frac{e ^{3 x} sin ( 3 x )}{6} + \frac{e ^{3 x} cos ( 3 x )}{6}

簡素化

(- \frac{e ^{3 x} cos ( 3 x )}{6} + \frac{e ^{3 x} sin ( 3 x )}{6}) + \frac{e ^{3 x} sin ( 3 x )}{6} + \frac{e ^{3 x} cos ( 3 x )}{6} : \frac{1}{3} e^{3 x} sin (3 x)

= \frac{1}{3} e^{3 x} sin (3 x)

定数を解答に追加する

= \frac{1}{3} e^{3 x} sin (3 x) + C