интеграл от e^{x^2+8x}

Решение

\int e^{x^{2} + 8 x} d x

\frac{π}{2 e ^{16}} erfi (x + 4) + C

Шаги решения

\int e^{x^{2} + 8 x} d x

Заполните квадрат

x^{2} + 8 x : (x + 4)^{2} - 16

= \int e^{(x + 4)^{2} - 16} d x

Применить подстановку интеграла

= \int e^{u^{2} - 16} d u

Упростите

e^{u^{2} - 16} : e^{u^{2}} e^{- 16}

= \int e^{u^{2}} e^{- 16} d u

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= e^{- 16} \cdot \int e^{u^{2}} d u

Примените правило возведения в степень:

a^{- b} = \frac{1}{a ^{b}}

= \frac{1}{e ^{16}} \cdot \int e^{u^{2}} d u

Используйте неэлементарный интеграл:

\int e^{u^{2}} d u = \frac{π}{2} erfi (u)

= \frac{1}{e ^{16}} \cdot \frac{π}{2} erfi (u)

Делаем обратную замену

u = x + 4

= \frac{1}{e ^{16}} \cdot \frac{π}{2} erfi (x + 4)

Упростите

\frac{1}{e ^{16}} \cdot \frac{π}{2} erfi (x + 4) : \frac{π}{2 e ^{16}} erfi (x + 4)

= \frac{π}{2 e ^{16}} erfi (x + 4)

Добавить константу к решению

= \frac{π}{2 e ^{16}} erfi (x + 4) + C