интеграл от (t+4)e^{t^2+8t+1}

Решение

\int (t + 4) e^{t^{2} + 8 t + 1} d t

\frac{1}{2} e^{1 + t^{2} + 8 t} + C

Шаги решения

\int (t + 4) e^{t^{2} + 8 t + 1} d t

(t + 4) e^{t^{2} + 8 t + 1} = e^{1} (t + 4) e^{t^{2} + 8 t}

= \int e^{1} (t + 4) e^{t^{2} + 8 t} d t

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= e^{1} \cdot \int (t + 4) e^{t^{2} + 8 t} d t

После упрощения получаем

= e \cdot \int (t + 4) e^{t^{2} + 8 t} d t

Применить подстановку интеграла

= e \cdot \int \frac{e ^{u}}{2} d u

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= e \frac{1}{2} \cdot \int e^{u} d u

Использовать общий интеграл:

\int e^{u} d u = e^{u}

= e \frac{1}{2} e^{u}

Делаем обратную замену

u = t^{2} + 8 t

= e \frac{1}{2} e^{t^{2} + 8 t}

Примените правило возведения в степень:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

e e^{t^{2} + 8 t} = e^{1 + t^{2} + 8 t}

= \frac{1}{2} e^{1 + t^{2} + 8 t}

Добавить константу к решению

= \frac{1}{2} e^{1 + t^{2} + 8 t} + C