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受欢迎的微积分 >

integral of (e^x)/(e^{2x)-1}

解答

\int \frac{e ^{x}}{e ^{2 x} - 1} d x

解答

- \frac{1}{2} ln ∣ e^{x} + 1 ∣ + \frac{1}{2} ln ∣ e^{x} - 1 ∣ + C

求解步骤

\int \frac{e ^{x}}{e ^{2 x} - 1} d x

使用换元积分法

= \int \frac{1}{u ^{2} - 1} d u

因式分解

u^{2} - 1 : - (- u^{2} + 1)

= \int \frac{1}{- ( - u ^{2} + 1 )} d u

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \int \frac{1}{- u ^{2} + 1} d u

使用积分常见定则:

\int \frac{1}{- u ^{2} + 1} d u = \frac{ln ∣ u + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ u - 1 ∣}{2}

= - (\frac{ln ∣ u + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ u - 1 ∣}{2})

u = e^{x}

代回

= - (\frac{ln ∣ e ^{x} + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ e ^{x} - 1 ∣}{2})

化简

- (\frac{ln ∣ e ^{x} + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ e ^{x} - 1 ∣}{2}) : - \frac{1}{2} ln ∣ e^{x} + 1 ∣ + \frac{1}{2} ln ∣ e^{x} - 1 ∣

= - \frac{1}{2} ln ∣ e^{x} + 1 ∣ + \frac{1}{2} ln ∣ e^{x} - 1 ∣

解答补常数

= - \frac{1}{2} ln ∣ e^{x} + 1 ∣ + \frac{1}{2} ln ∣ e^{x} - 1 ∣ + C

作图

流行的例子

derivative (1/2)^x-x

integral from-1 to 1 of 3/4 x^2(1-x^2)

integral of-5tan^3(x)

y^{''}+y=9e^{-4x},y(0)=0,y^'(0)=0