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人気のある微分積分 >

integral of (x^2-4x+4)/(sqrt(x^2-4x+53))

解

\int \frac{x ^{2} - 4 x + 4}{x ^{2} - 4 x + 53} d x

解

49 (- ln (\frac{1}{7} x - 2 + x^{2} - 4 x + 53) + \frac{1}{98} (x - 2) x^{2} - 4 x + 53 + \frac{1}{2} ln (\frac{x - 2 + x ^{2} - 4 x + 53}{7})) + C

解答ステップ

\int \frac{x ^{2} - 4 x + 4}{x ^{2} - 4 x + 53} d x

平方完成する

x^{2} - 4 x + 4 : (x - 2)^{2}

= \int \frac{( x - 2 ) ^{2}}{x ^{2} - 4 x + 53} d x

u置換積分法を適用する

= \int \frac{u ^{2}}{u ^{2} + 49} d u

三角関数による置換を適用する

= \int 49 tan^{2} (v) sec (v) d v

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 49 \cdot \int tan^{2} (v) sec (v) d v

三角関数の公式を使用して書き換える

= 49 \cdot \int (- 1 + sec^{2} (v)) sec (v) d v

拡張

(- 1 + sec^{2} (v)) sec (v) : - sec (v) + sec^{3} (v)

= 49 \cdot \int - sec (v) + sec^{3} (v) d v

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 49 (- \int sec (v) d v + \int sec^{3} (v) d v)

\int sec (v) d v = ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣

\int sec^{3} (v) d v = \frac{1}{2} sec (v) tan (v) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣

= 49 (- ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣ + \frac{1}{2} sec (v) tan (v) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣)

代用を戻す

= 49 (- ln tan (arctan (\frac{1}{7} (x - 2))) + sec (arctan (\frac{1}{7} (x - 2))) + \frac{1}{2} sec (arctan (\frac{1}{7} (x - 2))) tan (arctan (\frac{1}{7} (x - 2))) + \frac{1}{2} ln tan (arctan (\frac{1}{7} (x - 2))) + sec (arctan (\frac{1}{7} (x - 2))))

簡素化

49 (- ln tan (arctan (\frac{1}{7} (x - 2))) + sec (arctan (\frac{1}{7} (x - 2))) + \frac{1}{2} sec (arctan (\frac{1}{7} (x - 2))) tan (arctan (\frac{1}{7} (x - 2))) + \frac{1}{2} ln tan (arctan (\frac{1}{7} (x - 2))) + sec (arctan (\frac{1}{7} (x - 2)))) : 49 (- ln (\frac{1}{7} x - 2 + x^{2} - 4 x + 53) + \frac{1}{98} (x - 2) x^{2} - 4 x + 53 + \frac{1}{2} ln (\frac{x - 2 + x ^{2} - 4 x + 53}{7}))

= 49 (- ln (\frac{1}{7} x - 2 + x^{2} - 4 x + 53) + \frac{1}{98} (x - 2) x^{2} - 4 x + 53 + \frac{1}{2} ln (\frac{x - 2 + x ^{2} - 4 x + 53}{7}))

定数を解答に追加する

= 49 (- ln (\frac{1}{7} x - 2 + x^{2} - 4 x + 53) + \frac{1}{98} (x - 2) x^{2} - 4 x + 53 + \frac{1}{2} ln (\frac{x - 2 + x ^{2} - 4 x + 53}{7})) + C

グラフ

人気の例

integral of-5e^x+4/x

\int - 5 e^{x} + \frac{4}{x} d x

derivative of (25/x+(100)/(15-x))

\frac{d}{d x} (\frac{25}{x} + \frac{100}{15 - x})

t an g e n t x^{3} - 4 x

integral of x(a-x)^{5/2}

\int x (a - x)^{\frac{5}{2}} d x

integral of 2/(x^{10)}

\int \frac{2}{x ^{10}} d x