integral of ((sqrt(x)-1)^3)/(sqrt(x))

解

\int \frac{( x - 1 ) ^{3}}{x} d x

\frac{x ^{2}}{2} - 2 x^{\frac{3}{2}} + 3 x - 2 x + C

解答ステップ

\int \frac{( x - 1 ) ^{3}}{x} d x

長除法

\frac{( x - 1 ) ^{3}}{x} : x - 3 x + 3 - \frac{1}{x}

= \int x - 3 x + 3 - \frac{1}{x} d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int x d x - \int 3 x d x + \int 3 d x - \int \frac{1}{x} d x

\int x d x = \frac{x ^{2}}{2}

\int 3 x d x = 2 x^{\frac{3}{2}}

\int 3 d x = 3 x

\int \frac{1}{x} d x = 2 x

= \frac{x ^{2}}{2} - 2 x^{\frac{3}{2}} + 3 x - 2 x

定数を解答に追加する

= \frac{x ^{2}}{2} - 2 x^{\frac{3}{2}} + 3 x - 2 x + C