integral of x^2*sqrt(16-x^2)

Lösung

\int x^{2} \cdot 16 - x^{2} d x

32 (arcsin (\frac{1}{4} x) - \frac{1}{4} sin (4 arcsin (\frac{1}{4} x))) + C

Schritte zur Lösung

\int x^{2} 16 - x^{2} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int 256 sin^{2} (u) cos^{2} (u) d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 256 \cdot \int sin^{2} (u) cos^{2} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 256 \cdot \int \frac{1 - cos ( 4 u )}{8} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 256 \cdot \frac{1}{8} \cdot \int 1 - cos (4 u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 256 \cdot \frac{1}{8} (\int 1 d u - \int cos (4 u) d u)

\int 1 d u = u

\int cos (4 u) d u = \frac{1}{4} sin (4 u)

= 256 \cdot \frac{1}{8} (u - \frac{1}{4} sin (4 u))

Setze in

u = arcsin (\frac{1}{4} x)

ein

= 256 \cdot \frac{1}{8} (arcsin (\frac{1}{4} x) - \frac{1}{4} sin (4 arcsin (\frac{1}{4} x)))

Vereinfache

256 \cdot \frac{1}{8} (arcsin (\frac{1}{4} x) - \frac{1}{4} sin (4 arcsin (\frac{1}{4} x))) : 32 (arcsin (\frac{1}{4} x) - \frac{1}{4} sin (4 arcsin (\frac{1}{4} x)))

= 32 (arcsin (\frac{1}{4} x) - \frac{1}{4} sin (4 arcsin (\frac{1}{4} x)))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 32 (arcsin (\frac{1}{4} x) - \frac{1}{4} sin (4 arcsin (\frac{1}{4} x))) + C

\frac{d}{d x} (\frac{x - 15}{x - 15})

d er i v a t i v e 4 x + 8

x \to 1 lim (x - 3)

d er i v a t i v e y = x \cdot e^{4 - x}

a re a y = x - 1, x - y = 1