integral of 1/(x^2sqrt(81-x^2))

Lösung

\int \frac{1}{x ^{2} 81 - x ^{2}} d x

- \frac{81 - x ^{2}}{81 x} + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{x ^{2} 81 - x ^{2}} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int \frac{cot ( u )}{81 cos ( u ) sin ( u )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{81} \cdot \int \frac{cot ( u )}{cos ( u ) sin ( u )} d u

Vereinfache

\frac{cot ( u )}{cos ( u ) sin ( u )} : csc^{2} (u)

= \frac{1}{81} \cdot \int csc^{2} (u) d u

Nutze das gemeinsame Integral :

\int csc^{2} (u) d u = - cot (u)

= \frac{1}{81} (- cot (u))

Setze in

u = arcsin (\frac{1}{9} x)

ein

= \frac{1}{81} (- cot (arcsin (\frac{1}{9} x)))

Vereinfache

\frac{1}{81} (- cot (arcsin (\frac{1}{9} x))) : - \frac{81 - x ^{2}}{81 x}

= - \frac{81 - x ^{2}}{81 x}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - \frac{81 - x ^{2}}{81 x} + C