integral of x(x^2+1)^3

解

\int x (x^{2} + 1)^{3} d x

\frac{x ^{8}}{8} + \frac{x ^{6}}{2} + \frac{3 x ^{4}}{4} + \frac{x ^{2}}{2} + C

解答ステップ

\int x (x^{2} + 1)^{3} d x

拡張

x (x^{2} + 1)^{3} : x^{7} + 3 x^{5} + 3 x^{3} + x

= \int x^{7} + 3 x^{5} + 3 x^{3} + x d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int x^{7} d x + \int 3 x^{5} d x + \int 3 x^{3} d x + \int x d x

\int x^{7} d x = \frac{x ^{8}}{8}

\int 3 x^{5} d x = \frac{x ^{6}}{2}

\int 3 x^{3} d x = \frac{3 x ^{4}}{4}

\int x d x = \frac{x ^{2}}{2}

= \frac{x ^{8}}{8} + \frac{x ^{6}}{2} + \frac{3 x ^{4}}{4} + \frac{x ^{2}}{2}

定数を解答に追加する

= \frac{x ^{8}}{8} + \frac{x ^{6}}{2} + \frac{3 x ^{4}}{4} + \frac{x ^{2}}{2} + C