integral of sqrt(16-9x^2)

Lösung

\int 16 - 9 x^{2} d x

\frac{4}{3} (2 arcsin (\frac{3}{4} x) + sin (2 arcsin (\frac{3}{4} x))) + C

Schritte zur Lösung

\int 16 - 9 x^{2} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int \frac{16}{3} cos^{2} (u) d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{16}{3} \cdot \int cos^{2} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{16}{3} \cdot \int \frac{1 + cos ( 2 u )}{2} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{16}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{16}{3} \cdot \frac{1}{2} (\int 1 d u + \int cos (2 u) d u)

\int 1 d u = u

\int cos (2 u) d u = \frac{1}{2} sin (2 u)

= \frac{16}{3} \cdot \frac{1}{2} (u + \frac{1}{2} sin (2 u))

Setze in

u = arcsin (\frac{3}{4} x)

ein

= \frac{16}{3} \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{3}{4} x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{3}{4} x)))

Vereinfache

\frac{16}{3} \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{3}{4} x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{3}{4} x))) : \frac{4}{3} (2 arcsin (\frac{3}{4} x) + sin (2 arcsin (\frac{3}{4} x)))

= \frac{4}{3} (2 arcsin (\frac{3}{4} x) + sin (2 arcsin (\frac{3}{4} x)))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{4}{3} (2 arcsin (\frac{3}{4} x) + sin (2 arcsin (\frac{3}{4} x))) + C