integral of sqrt(3+9x^2)

Lösung

\int 3 + 9 x^{2} d x

\frac{3}{2} x 1 + 3 x^{2} + \frac{1}{2} ln 3 x + 1 + 3 x^{2} + C

Schritte zur Lösung

\int 3 + 9 x^{2} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int sec^{3} (u) d u

Wende integrale Reduktion an

= \frac{sec ^{2} ( u ) sin ( u )}{2} + \frac{1}{2} \cdot \int sec (u) d u

\int sec (u) d u = ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣

= \frac{sec ^{2} ( u ) sin ( u )}{2} + \frac{1}{2} ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣

Setze in

u = arctan (\frac{3}{3} x)

ein

= \frac{sec ^{2} ( arctan ( \frac{3}{3} x ) ) sin ( arctan ( \frac{3}{3} x ) )}{2} + \frac{1}{2} ln tan (arctan (\frac{3}{3} x)) + sec (arctan (\frac{3}{3} x))

Vereinfache

\frac{sec ^{2} ( arctan ( \frac{3}{3} x ) ) sin ( arctan ( \frac{3}{3} x ) )}{2} + \frac{1}{2} ln tan (arctan (\frac{3}{3} x)) + sec (arctan (\frac{3}{3} x)) : \frac{3}{2} x 1 + 3 x^{2} + \frac{1}{2} ln 3 x + 1 + 3 x^{2}

= \frac{3}{2} x 1 + 3 x^{2} + \frac{1}{2} ln 3 x + 1 + 3 x^{2}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{3}{2} x 1 + 3 x^{2} + \frac{1}{2} ln 3 x + 1 + 3 x^{2} + C