integral of 2/((x^2+1)^2)

Lösung

\int \frac{2}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} d x

arctan (x) + \frac{x}{1 + x ^{2}} + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{2}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{1}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= 2 \cdot \int \frac{1}{sec ^{4} ( u ) cos ^{2} ( u )} d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 2 \cdot \int \frac{1 + cos ( 2 u )}{2} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 2 \cdot \frac{1}{2} (\int 1 d u + \int cos (2 u) d u)

\int 1 d u = u

\int cos (2 u) d u = \frac{1}{2} sin (2 u)

= 2 \cdot \frac{1}{2} (u + \frac{1}{2} sin (2 u))

Setze in

u = arctan (x)

ein

= 2 \cdot \frac{1}{2} (arctan (x) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (x)))

Vereinfache

2 \cdot \frac{1}{2} (arctan (x) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (x))) : arctan (x) + \frac{x}{1 + x ^{2}}

= arctan (x) + \frac{x}{1 + x ^{2}}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= arctan (x) + \frac{x}{1 + x ^{2}} + C

\frac{d}{d x} (sin^{- 2} (x^{2} + x))

\int 3 e^{5 x} - 3 cos (4 x) d x

x \to 0 lim (- (ln (x)))

t \to 0 lim (\frac{e ^{3 t} - 1}{t})

x \to \infty + lim (\frac{1}{x} + 4)