integral of (x-3)/(x^3+2x^2)

解

\int \frac{x - 3}{x ^{3} + 2 x ^{2}} d x

\frac{5}{4} ln ∣ x ∣ + \frac{3}{2 x} - \frac{5}{4} ln ∣ x + 2 ∣ + C

解答ステップ

\int \frac{x - 3}{x ^{3} + 2 x ^{2}} d x

以下の部分分数を得る:

\frac{x - 3}{x ^{3} + 2 x ^{2}} : \frac{5}{4 x} - \frac{3}{2 x ^{2}} - \frac{5}{4 ( x + 2 )}

= \int \frac{5}{4 x} - \frac{3}{2 x ^{2}} - \frac{5}{4 ( x + 2 )} d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{5}{4 x} d x - \int \frac{3}{2 x ^{2}} d x - \int \frac{5}{4 ( x + 2 )} d x

\int \frac{5}{4 x} d x = \frac{5}{4} ln ∣ x ∣

\int \frac{3}{2 x ^{2}} d x = - \frac{3}{2 x}

\int \frac{5}{4 ( x + 2 )} d x = \frac{5}{4} ln ∣ x + 2 ∣

= \frac{5}{4} ln ∣ x ∣ - (- \frac{3}{2 x}) - \frac{5}{4} ln ∣ x + 2 ∣

簡素化

= \frac{5}{4} ln ∣ x ∣ + \frac{3}{2 x} - \frac{5}{4} ln ∣ x + 2 ∣

定数を解答に追加する

= \frac{5}{4} ln ∣ x ∣ + \frac{3}{2 x} - \frac{5}{4} ln ∣ x + 2 ∣ + C