integral of e^{-t/4}sin((pit)/4)

Lösung

\int e^{- \frac{t}{4}} sin (\frac{π t}{4}) d t

4 (- \frac{π}{π ^{2} + 1} e^{- \frac{t}{4}} cos (\frac{π t}{4}) - \frac{1}{π ^{2} + 1} e^{- \frac{t}{4}} sin (\frac{π t}{4})) + C

Schritte zur Lösung

\int e^{- \frac{t}{4}} sin (\frac{π t}{4}) d t

Wende U-Substitution an

= \int 4 e^{- u} sin (π u) d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot \int e^{- u} sin (π u) d u

Wende die partielle Integration an

= 4 (- \frac{1}{π} e^{- u} cos (π u) - \int \frac{1}{π} e^{- u} cos (π u) d u)

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 (- \frac{1}{π} e^{- u} cos (π u) - \frac{1}{π} \cdot \int e^{- u} cos (π u) d u)

Wende die partielle Integration an

= 4 (- \frac{1}{π} e^{- u} cos (π u) - \frac{1}{π} (\frac{1}{π} e^{- u} sin (π u) - \int - \frac{1}{π} e^{- u} sin (π u) d u))

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 (- \frac{1}{π} e^{- u} cos (π u) - \frac{1}{π} (\frac{1}{π} e^{- u} sin (π u) - (- \frac{1}{π} \cdot \int e^{- u} sin (π u) d u)))

Deshalb

4 \cdot \int e^{- u} sin (π u) d u = 4 (- \frac{1}{π} e^{- u} cos (π u) - \frac{1}{π} (\frac{1}{π} e^{- u} sin (π u) - (- \frac{1}{π} \cdot \int e^{- u} sin (π u) d u)))

Isoliere

\int e^{- u} sin (π u) d u

= 4 (- \frac{π e ^{- u} cos ( π u )}{π ^{2} + 1} - \frac{e ^{- u} sin ( π u )}{π ^{2} + 1})

Setze in

u = \frac{t}{4}

ein

= 4 (- \frac{π e ^{- \frac{t}{4}} cos ( π \frac{t}{4} )}{π ^{2} + 1} - \frac{e ^{- \frac{t}{4}} sin ( π \frac{t}{4} )}{π ^{2} + 1})

Vereinfache

4 (- \frac{π e ^{- \frac{t}{4}} cos ( π \frac{t}{4} )}{π ^{2} + 1} - \frac{e ^{- \frac{t}{4}} sin ( π \frac{t}{4} )}{π ^{2} + 1}) : 4 (- \frac{π}{π ^{2} + 1} e^{- \frac{t}{4}} cos (\frac{π t}{4}) - \frac{1}{π ^{2} + 1} e^{- \frac{t}{4}} sin (\frac{π t}{4}))

= 4 (- \frac{π}{π ^{2} + 1} e^{- \frac{t}{4}} cos (\frac{π t}{4}) - \frac{1}{π ^{2} + 1} e^{- \frac{t}{4}} sin (\frac{π t}{4}))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 4 (- \frac{π}{π ^{2} + 1} e^{- \frac{t}{4}} cos (\frac{π t}{4}) - \frac{1}{π ^{2} + 1} e^{- \frac{t}{4}} sin (\frac{π t}{4})) + C