inverselaplace s/(s^2-2s+5)

解

逆ラプラス

\frac{s}{s ^{2} - 2 s + 5}

e^{t} cos (2 t) + \frac{1}{2} e^{t} sin (2 t)

解答ステップ

L^{- 1} {\frac{s}{s ^{2} - 2 s + 5}}

拡張

\frac{s}{s ^{2} - 2 s + 5} : \frac{s - 1}{( s - 1 ) ^{2} + 4} + 1 \cdot \frac{1}{( s - 1 ) ^{2} + 4}

= L^{- 1} {\frac{s - 1}{( s - 1 ) ^{2} + 4} + 1 \cdot \frac{1}{( s - 1 ) ^{2} + 4}}

逆ラプラス変換の線形性を使用する:

関数

f (s), g (s)

と定数

a, b : L^{- 1} {a \cdot f (s) + b \cdot g (s)} = a \cdot L^{- 1} {f (s)} + b \cdot L^{- 1} {g (s)}

= L^{- 1} {\frac{s - 1}{( s - 1 ) ^{2} + 4}} + 1 \cdot L^{- 1} {\frac{1}{( s - 1 ) ^{2} + 4}}

L^{- 1} {\frac{s - 1}{( s - 1 ) ^{2} + 4}} : e^{t} cos (2 t)

L^{- 1} {\frac{1}{( s - 1 ) ^{2} + 4}} : e^{t} \frac{1}{2} sin (2 t)

= e^{t} cos (2 t) + 1 \cdot e^{t} \frac{1}{2} sin (2 t)

改良

e^{t} cos (2 t) + 1 e^{t} \frac{1}{2} sin (2 t) : e^{t} cos (2 t) + \frac{1}{2} e^{t} sin (2 t)

= e^{t} cos (2 t) + \frac{1}{2} e^{t} sin (2 t)