intégrale de 1/(u^2+xu)

Solution

\int \frac{1}{u ^{2} + xu} d u

\frac{1}{x} (- ln (\frac{∣ u + x ∣}{∣ x ∣}) + ln \frac{u + x}{x} - 1) + C

étapes des solutions

\int \frac{1}{u ^{2} + xu} d u

Factoriser

\frac{1}{u ^{2} + xu}

= \int \frac{1}{u ( u + x )} d u

Appliquer l'intégration par subsitution

= \int \frac{1}{( v - x ) v} d v

v - x = x (\frac{v}{x} - 1)

= \int \frac{1}{x ( \frac{v}{x} - 1 ) v} d v

Extraire la constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{x} \cdot \int \frac{1}{( \frac{v}{x} - 1 ) v} d v

Appliquer l'intégration par subsitution

= \frac{1}{x} \cdot \int \frac{1}{w ( w - 1 )} d w

Prendre la fraction partielle de

\frac{1}{w ( w - 1 )} : - \frac{1}{w} + \frac{1}{w - 1}

= \frac{1}{x} \cdot \int - \frac{1}{w} + \frac{1}{w - 1} d w

Appliquer la règle de la somme:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{x} (- \int \frac{1}{w} d w + \int \frac{1}{w - 1} d w)

\int \frac{1}{w} d w = ln ∣ w ∣

\int \frac{1}{w - 1} d w = ln ∣ w - 1 ∣

= \frac{1}{x} (- ln ∣ w ∣ + ln ∣ w - 1 ∣)

Rétrosubstituer

= \frac{1}{x} (- ln \frac{u + x}{x} + ln \frac{u + x}{x} - 1)

Appliquer la règle absolue:

\frac{a}{b} = \frac{∣ a ∣}{∣ b ∣}

\frac{u + x}{x} = \frac{∣ u + x ∣}{∣ x ∣}

= \frac{1}{x} (- ln (\frac{∣ u + x ∣}{∣ x ∣}) + ln \frac{u + x}{x} - 1)

Ajouter une constante à la solution

= \frac{1}{x} (- ln (\frac{∣ u + x ∣}{∣ x ∣}) + ln \frac{u + x}{x} - 1) + C