integral of (x^4+2x+6)/(x^3+x^2-2x)

解

\int \frac{x ^{4} + 2 x + 6}{x ^{3} + x ^{2} - 2 x} d x

\frac{x ^{2}}{2} - x - 3 ln ∣ x ∣ + 3 ln ∣ x - 1 ∣ + 3 ln ∣ x + 2 ∣ + C

解答ステップ

\int \frac{x ^{4} + 2 x + 6}{x ^{3} + x ^{2} - 2 x} d x

以下の部分分数を得る:

\frac{x ^{4} + 2 x + 6}{x ^{3} + x ^{2} - 2 x} : x - 1 - \frac{3}{x} + \frac{3}{x - 1} + \frac{3}{x + 2}

= \int x - 1 - \frac{3}{x} + \frac{3}{x - 1} + \frac{3}{x + 2} d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int x d x - \int 1 d x - \int \frac{3}{x} d x + \int \frac{3}{x - 1} d x + \int \frac{3}{x + 2} d x

\int x d x = \frac{x ^{2}}{2}

\int 1 d x = x

\int \frac{3}{x} d x = 3 ln ∣ x ∣

\int \frac{3}{x - 1} d x = 3 ln ∣ x - 1 ∣

\int \frac{3}{x + 2} d x = 3 ln ∣ x + 2 ∣

= \frac{x ^{2}}{2} - x - 3 ln ∣ x ∣ + 3 ln ∣ x - 1 ∣ + 3 ln ∣ x + 2 ∣

定数を解答に追加する

= \frac{x ^{2}}{2} - x - 3 ln ∣ x ∣ + 3 ln ∣ x - 1 ∣ + 3 ln ∣ x + 2 ∣ + C