integral of 1/(sqrt(x^2+4x-1))

Lösung

\int \frac{1}{x ^{2} + 4 x - 1} d x

ln \frac{1}{5} (x^{2} + 4 x - 1) + \frac{1}{5} (x + 2) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{x ^{2} + 4 x - 1} d x

Vervollständige das Quadrat

x^{2} + 4 x - 1 : (x + 2)^{2} - 5

= \int \frac{1}{( x + 2 ) ^{2} - 5} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{1}{u ^{2} - 5} d u

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int sec (v) d v

Nutze das gemeinsame Integral :

\int sec (v) d v = ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣

= ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣

Ersetze zurück

= ln tan (arcsec (\frac{1}{5} (x + 2))) + sec (arcsec (\frac{1}{5} (x + 2)))

Vereinfache

ln tan (arcsec (\frac{1}{5} (x + 2))) + sec (arcsec (\frac{1}{5} (x + 2))) : ln \frac{1}{5} (x^{2} + 4 x - 1) + \frac{1}{5} (x + 2)

= ln \frac{1}{5} (x^{2} + 4 x - 1) + \frac{1}{5} (x + 2)

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= ln \frac{1}{5} (x^{2} + 4 x - 1) + \frac{1}{5} (x + 2) + C