integral of (x^2+1)/((x-5)(x-4)^2)

解

\int \frac{x ^{2} + 1}{( x - 5 ) ( x - 4 ) ^{2}} d x

26 ln ∣ x - 5 ∣ - 25 ln ∣ x - 4 ∣ + \frac{17}{x - 4} + C

解答ステップ

\int \frac{x ^{2} + 1}{( x - 5 ) ( x - 4 ) ^{2}} d x

以下の部分分数を得る:

\frac{x ^{2} + 1}{( x - 5 ) ( x - 4 ) ^{2}} : \frac{26}{x - 5} - \frac{25}{x - 4} - \frac{17}{( x - 4 ) ^{2}}

= \int \frac{26}{x - 5} - \frac{25}{x - 4} - \frac{17}{( x - 4 ) ^{2}} d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{26}{x - 5} d x - \int \frac{25}{x - 4} d x - \int \frac{17}{( x - 4 ) ^{2}} d x

\int \frac{26}{x - 5} d x = 26 ln ∣ x - 5 ∣

\int \frac{25}{x - 4} d x = 25 ln ∣ x - 4 ∣

\int \frac{17}{( x - 4 ) ^{2}} d x = - \frac{17}{x - 4}

= 26 ln ∣ x - 5 ∣ - 25 ln ∣ x - 4 ∣ - (- \frac{17}{x - 4})

簡素化

= 26 ln ∣ x - 5 ∣ - 25 ln ∣ x - 4 ∣ + \frac{17}{x - 4}

定数を解答に追加する

= 26 ln ∣ x - 5 ∣ - 25 ln ∣ x - 4 ∣ + \frac{17}{x - 4} + C