integral de xsin((npix)/2)

Solução

\int x sin (\frac{nπ x}{2}) d x

\frac{4}{π ^{2} n ^{2}} (- \frac{πn}{2} x cos (\frac{πn x}{2}) + sin (\frac{πn x}{2})) + C

Passos da solução

\int x sin (\frac{nπ x}{2}) d x

Aplicar integração por substituição

= \int \frac{4 u sin ( u )}{π ^{2} n ^{2}} d u

Remover a constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{4}{π ^{2} n ^{2}} \cdot \int u sin (u) d u

Aplicar integração por partes

= \frac{4}{π ^{2} n ^{2}} (- u cos (u) - \int - cos (u) d u)

\int - cos (u) d u = - sin (u)

= \frac{4}{π ^{2} n ^{2}} (- u cos (u) - (- sin (u)))

Substituir na equação

u = \frac{n x π}{2}

= \frac{4}{π ^{2} n ^{2}} (- \frac{n x π}{2} cos (\frac{n x π}{2}) - (- sin (\frac{n x π}{2})))

Simplificar

\frac{4}{π ^{2} n ^{2}} (- \frac{n x π}{2} cos (\frac{n x π}{2}) - (- sin (\frac{n x π}{2}))) : \frac{4}{π ^{2} n ^{2}} (- \frac{πn}{2} x cos (\frac{πn x}{2}) + sin (\frac{πn x}{2}))

= \frac{4}{π ^{2} n ^{2}} (- \frac{πn}{2} x cos (\frac{πn x}{2}) + sin (\frac{πn x}{2}))

Adicionar uma constante à solução

= \frac{4}{π ^{2} n ^{2}} (- \frac{πn}{2} x cos (\frac{πn x}{2}) + sin (\frac{πn x}{2})) + C