integral of (x+4)/(x^3+3x^2+2x)

解

\int \frac{x + 4}{x ^{3} + 3 x ^{2} + 2 x} d x

2 ln ∣ x ∣ - 3 ln ∣ x + 1 ∣ + ln ∣ x + 2 ∣ + C

解答ステップ

\int \frac{x + 4}{x ^{3} + 3 x ^{2} + 2 x} d x

以下の部分分数を得る:

\frac{x + 4}{x ^{3} + 3 x ^{2} + 2 x} : \frac{2}{x} - \frac{3}{x + 1} + \frac{1}{x + 2}

= \int \frac{2}{x} - \frac{3}{x + 1} + \frac{1}{x + 2} d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{2}{x} d x - \int \frac{3}{x + 1} d x + \int \frac{1}{x + 2} d x

\int \frac{2}{x} d x = 2 ln ∣ x ∣

\int \frac{3}{x + 1} d x = 3 ln ∣ x + 1 ∣

\int \frac{1}{x + 2} d x = ln ∣ x + 2 ∣

= 2 ln ∣ x ∣ - 3 ln ∣ x + 1 ∣ + ln ∣ x + 2 ∣

定数を解答に追加する

= 2 ln ∣ x ∣ - 3 ln ∣ x + 1 ∣ + ln ∣ x + 2 ∣ + C