integral of e^{i6x}cos(5x)

解

\int e^{i 6 x} cos (5 x) d x

\frac{1}{55} (11 (3 sin (x) + cos (6 x) sin (5 x)) - 3 sin (11 x)) + i \frac{1}{55} (11 (- 3 cos (x) + sin (5 x) sin (6 x)) + 3 cos (11 x)) + C

解答ステップ

\int e^{i 6 x} cos (5 x) d x

部分積分を適用する

= \frac{1}{5} sin (5 x) (cos (6 x) + i sin (6 x)) - \int \frac{1}{5} sin (5 x) (- 6 sin (6 x) + 6 i cos (6 x)) d x

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{5} sin (5 x) (cos (6 x) + i sin (6 x)) - \frac{1}{5} \cdot \int sin (5 x) (- 6 sin (6 x) + 6 i cos (6 x)) d x

標準的な複素数形式で

sin (5 x) (- 6 sin (6 x) + 6 i cos (6 x))

を書き換える:

- 6 sin (5 x) sin (6 x) + 6 sin (5 x) cos (6 x) i

= \frac{1}{5} sin (5 x) (cos (6 x) + i sin (6 x)) - \frac{1}{5} \cdot \int - 6 sin (5 x) sin (6 x) + 6 i sin (5 x) cos (6 x) d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{5} sin (5 x) (cos (6 x) + i sin (6 x)) - \frac{1}{5} (- \int 6 sin (5 x) sin (6 x) d x + \int 6 i sin (5 x) cos (6 x) d x)

\int 6 sin (5 x) sin (6 x) d x = 3 (sin (x) - \frac{1}{11} sin (11 x))

\int 6 i sin (5 x) cos (6 x) d x = i \frac{1}{11} (33 cos (x) - 3 cos (11 x))

= \frac{1}{5} sin (5 x) (cos (6 x) + i sin (6 x)) - \frac{1}{5} (- 3 (sin (x) - \frac{1}{11} sin (11 x)) + i \frac{1}{11} (33 cos (x) - 3 cos (11 x)))

簡素化

\frac{1}{5} sin (5 x) (cos (6 x) + i sin (6 x)) - \frac{1}{5} (- 3 (sin (x) - \frac{1}{11} sin (11 x)) + i \frac{1}{11} (33 cos (x) - 3 cos (11 x))) : \frac{1}{55} (11 (3 sin (x) + cos (6 x) sin (5 x)) - 3 sin (11 x)) + i \frac{1}{55} (11 (- 3 cos (x) + sin (5 x) sin (6 x)) + 3 cos (11 x))

= \frac{1}{55} (11 (3 sin (x) + cos (6 x) sin (5 x)) - 3 sin (11 x)) + i \frac{1}{55} (11 (- 3 cos (x) + sin (5 x) sin (6 x)) + 3 cos (11 x))

定数を解答に追加する

= \frac{1}{55} (11 (3 sin (x) + cos (6 x) sin (5 x)) - 3 sin (11 x)) + i \frac{1}{55} (11 (- 3 cos (x) + sin (5 x) sin (6 x)) + 3 cos (11 x)) + C