integral of sqrt(x^2-4x+1)

Lösung

\int x^{2} - 4 x + 1 d x

3 (- ln \frac{1}{3} (x^{2} - 4 x + 1) + \frac{1}{3} (x - 2) + \frac{1}{6} (x - 2) x^{2} - 4 x + 1 + \frac{1}{2} ln \frac{x ^{2} - 4 x + 1}{3} + \frac{1}{3} (x - 2)) + C

Schritte zur Lösung

\int x^{2} - 4 x + 1 d x

Vervollständige das Quadrat

x^{2} - 4 x + 1 : (x - 2)^{2} - 3

= \int (x - 2)^{2} - 3 d x

Wende U-Substitution an

= \int u^{2} - 3 d u

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int 3 tan^{2} (v) sec (v) d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 3 \cdot \int tan^{2} (v) sec (v) d v

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 3 \cdot \int (- 1 + sec^{2} (v)) sec (v) d v

Multipliziere aus

(- 1 + sec^{2} (v)) sec (v) : - sec (v) + sec^{3} (v)

= 3 \cdot \int - sec (v) + sec^{3} (v) d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 3 (- \int sec (v) d v + \int sec^{3} (v) d v)

\int sec (v) d v = ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣

\int sec^{3} (v) d v = \frac{1}{2} sec (v) tan (v) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣

= 3 (- ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣ + \frac{1}{2} sec (v) tan (v) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣)

Ersetze zurück

= 3 (- ln tan (arcsec (\frac{1}{3} (x - 2))) + sec (arcsec (\frac{1}{3} (x - 2))) + \frac{1}{2} sec (arcsec (\frac{1}{3} (x - 2))) tan (arcsec (\frac{1}{3} (x - 2))) + \frac{1}{2} ln tan (arcsec (\frac{1}{3} (x - 2))) + sec (arcsec (\frac{1}{3} (x - 2))))

Vereinfache

3 (- ln tan (arcsec (\frac{1}{3} (x - 2))) + sec (arcsec (\frac{1}{3} (x - 2))) + \frac{1}{2} sec (arcsec (\frac{1}{3} (x - 2))) tan (arcsec (\frac{1}{3} (x - 2))) + \frac{1}{2} ln tan (arcsec (\frac{1}{3} (x - 2))) + sec (arcsec (\frac{1}{3} (x - 2)))) : 3 (- ln \frac{1}{3} (x^{2} - 4 x + 1) + \frac{1}{3} (x - 2) + \frac{1}{6} (x - 2) x^{2} - 4 x + 1 + \frac{1}{2} ln \frac{x ^{2} - 4 x + 1}{3} + \frac{1}{3} (x - 2))

= 3 (- ln \frac{1}{3} (x^{2} - 4 x + 1) + \frac{1}{3} (x - 2) + \frac{1}{6} (x - 2) x^{2} - 4 x + 1 + \frac{1}{2} ln \frac{x ^{2} - 4 x + 1}{3} + \frac{1}{3} (x - 2))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 3 (- ln \frac{1}{3} (x^{2} - 4 x + 1) + \frac{1}{3} (x - 2) + \frac{1}{6} (x - 2) x^{2} - 4 x + 1 + \frac{1}{2} ln \frac{x ^{2} - 4 x + 1}{3} + \frac{1}{3} (x - 2)) + C