integral of 1/(sqrt(3x)+1)

解

\int \frac{1}{3 x + 1} d x

\frac{2}{3} x - \frac{2}{3} ln 3 x + 1 + 1 + C

解答ステップ

\int \frac{1}{3 x + 1} d x

\frac{1}{3 x + 1} = - \frac{3 x}{3 x + 1} + 1

= \int - \frac{3 x}{3 x + 1} + 1 d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= - \int \frac{3 x}{3 x + 1} d x + \int 1 d x

\int \frac{3 x}{3 x + 1} d x = \frac{1}{3} (3 x - 23 x + 2 ln 3 x + 1 - 3)

\int 1 d x = x

= - \frac{1}{3} (3 x - 23 x + 2 ln 3 x + 1 - 3) + x

簡素化

- \frac{1}{3} (3 x - 23 x + 2 ln 3 x + 1 - 3) + x : \frac{2}{3} x - \frac{2}{3} ln 3 x + 1 + 1

= \frac{2}{3} x - \frac{2}{3} ln 3 x + 1 + 1

定数を解答に追加する

= \frac{2}{3} x - \frac{2}{3} ln 3 x + 1 + 1 + C