inverselaplace 1/(s(s+1)^3)

解

逆ラプラス

\frac{1}{s ( s + 1 ) ^{3}}

H (t) - e^{- t} - e^{- t} t - \frac{e ^{- t} t ^{2}}{2}

解答ステップ

L^{- 1} {\frac{1}{s ( s + 1 ) ^{3}}}

以下の部分分数を得る:

\frac{1}{s ( s + 1 ) ^{3}} : \frac{1}{s} - \frac{1}{s + 1} - \frac{1}{( s + 1 ) ^{2}} - \frac{1}{( s + 1 ) ^{3}}

= L^{- 1} {\frac{1}{s} - \frac{1}{s + 1} - \frac{1}{( s + 1 ) ^{2}} - \frac{1}{( s + 1 ) ^{3}}}

逆ラプラス変換の線形性を使用する:

関数

f (s), g (s)

と定数

a, b : L^{- 1} {a \cdot f (s) + b \cdot g (s)} = a \cdot L^{- 1} {f (s)} + b \cdot L^{- 1} {g (s)}

= L^{- 1} {\frac{1}{s}} - L^{- 1} {\frac{1}{s + 1}} - L^{- 1} {\frac{1}{( s + 1 ) ^{2}}} - L^{- 1} {\frac{1}{( s + 1 ) ^{3}}}

L^{- 1} {\frac{1}{s}} : H (t)

L^{- 1} {\frac{1}{s + 1}} : e^{- t}

L^{- 1} {\frac{1}{( s + 1 ) ^{2}}} : e^{- t} t

L^{- 1} {\frac{1}{( s + 1 ) ^{3}}} : \frac{e ^{- t} t ^{2}}{2}

= H (t) - e^{- t} - e^{- t} t - \frac{e ^{- t} t ^{2}}{2}