integral de 1/(x^4sqrt(16-25x^2))

Solução

\int \frac{1}{x ^{4} 16 - 25 x ^{2}} d x

- \frac{( 25 x ^{2} + 8 ) - 25 x ^{2} + 16}{384 x ^{3}} + C

Passos da solução

\int \frac{1}{x ^{4} 16 - 25 x ^{2}} d x

Aplicar integração por substituição trigonométrica

= \int \frac{125}{256 sin ^{4} ( u )} d u

Remover a constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{125}{256} \cdot \int \frac{1}{sin ^{4} ( u )} d u

Reeecreva usando identidades trigonométricas

= \frac{125}{256} \cdot \int csc^{4} (u) d u

Aplicar a redução de integrais

= \frac{125}{256} (- \frac{cos ( u ) csc ^{3} ( u )}{3} + \frac{2}{3} \cdot \int csc^{2} (u) d u)

\int csc^{2} (u) d u = - cot (u)

= \frac{125}{256} (- \frac{cos ( u ) csc ^{3} ( u )}{3} + \frac{2}{3} (- cot (u)))

Substituir na equação

u = arcsin (\frac{5}{4} x)

= \frac{125}{256} (- \frac{cos ( arcsin ( \frac{5}{4} x ) ) csc ^{3} ( arcsin ( \frac{5}{4} x ) )}{3} + \frac{2}{3} (- cot (arcsin (\frac{5}{4} x))))

Simplificar

\frac{125}{256} (- \frac{cos ( arcsin ( \frac{5}{4} x ) ) csc ^{3} ( arcsin ( \frac{5}{4} x ) )}{3} + \frac{2}{3} (- cot (arcsin (\frac{5}{4} x)))) : - \frac{( 25 x ^{2} + 8 ) - 25 x ^{2} + 16}{384 x ^{3}}

= - \frac{( 25 x ^{2} + 8 ) - 25 x ^{2} + 16}{384 x ^{3}}

Adicionar uma constante à solução

= - \frac{( 25 x ^{2} + 8 ) - 25 x ^{2} + 16}{384 x ^{3}} + C