integral of (e^x)/(e^{2x)-3e^x+2}

解

\int \frac{e ^{x}}{e ^{2 x} - 3 e ^{x} + 2} d x

- ln ∣ e^{x} - 1 ∣ + ln ∣ e^{x} - 2 ∣ + C

解答ステップ

\int \frac{e ^{x}}{e ^{2 x} - 3 e ^{x} + 2} d x

以下の部分分数を得る:

\frac{e ^{x}}{e ^{2 x} - 3 e ^{x} + 2} : - \frac{1}{e ^{x} - 1} + \frac{2}{e ^{x} - 2}

= \int - \frac{1}{e ^{x} - 1} + \frac{2}{e ^{x} - 2} d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= - \int \frac{1}{e ^{x} - 1} d x + \int \frac{2}{e ^{x} - 2} d x

\int \frac{1}{e ^{x} - 1} d x = ln ∣ e^{x} - 1 ∣ - x

\int \frac{2}{e ^{x} - 2} d x = - x + ln ∣ e^{x} - 2 ∣

= - (ln ∣ e^{x} - 1 ∣ - x) - x + ln ∣ e^{x} - 2 ∣

簡素化

= - ln ∣ e^{x} - 1 ∣ + ln ∣ e^{x} - 2 ∣

定数を解答に追加する

= - ln ∣ e^{x} - 1 ∣ + ln ∣ e^{x} - 2 ∣ + C