integral of (1/((25-x^2)^{3/2)})

Lösung

\int (\frac{1}{( 25 - x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}}) d x

\frac{x}{25 ( 25 - x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}} + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{( 25 - x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int \frac{1}{25 cos ^{2} ( u )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{25} \cdot \int \frac{1}{cos ^{2} ( u )} d u

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{cos ^{2} ( u )} d u = tan (u)

= \frac{1}{25} tan (u)

Setze in

u = arcsin (\frac{1}{5} x)

ein

= \frac{1}{25} tan (arcsin (\frac{1}{5} x))

Vereinfache

\frac{1}{25} tan (arcsin (\frac{1}{5} x)) : \frac{x}{25 ( 25 - x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}}

= \frac{x}{25 ( 25 - x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{x}{25 ( 25 - x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}} + C