integral of cos^3(xsi)n^3x

Lösung

\int cos^{3} (x s i) n^{3} x d x

n^{3} \frac{1}{s ^{2} i ^{2}} (s i x sin (s i x) - \frac{1}{3} s i x sin^{3} (s i x) + \frac{2}{3} cos (s i x) + \frac{1}{9} cos^{3} (s i x)) + C

Schritte zur Lösung

\int cos^{3} (x s i) n^{3} x d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= n^{3} \cdot \int cos^{3} (s i x) x d x

Wende U-Substitution an

= n^{3} \cdot \int \frac{u cos ^{3} ( u )}{s ^{2} i ^{2}} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= n^{3} \frac{1}{s ^{2} i ^{2}} \cdot \int u cos^{3} (u) d u

Wende die partielle Integration an

= n^{3} \frac{1}{s ^{2} i ^{2}} (u (sin (u) - \frac{1}{3} sin^{3} (u)) - \int sin (u) - \frac{1}{3} sin^{3} (u) d u)

\int sin (u) - \frac{1}{3} sin^{3} (u) d u = - \frac{2}{3} cos (u) - \frac{1}{9} cos^{3} (u)

= n^{3} \frac{1}{s ^{2} i ^{2}} (u (sin (u) - \frac{1}{3} sin^{3} (u)) - (- \frac{2}{3} cos (u) - \frac{1}{9} cos^{3} (u)))

Setze in

u = s i x

ein

= n^{3} \frac{1}{s ^{2} i ^{2}} (s i x (sin (s i x) - \frac{1}{3} sin^{3} (s i x)) - (- \frac{2}{3} cos (s i x) - \frac{1}{9} cos^{3} (s i x)))

Multipliziere aus

s i x (sin (s i x) - \frac{1}{3} sin^{3} (s i x)) - (- \frac{2}{3} cos (s i x) - \frac{1}{9} cos^{3} (s i x)) : s i x sin (s i x) - \frac{1}{3} s i x sin^{3} (s i x) + \frac{2}{3} cos (s i x) + \frac{1}{9} cos^{3} (s i x)

= n^{3} \frac{1}{s ^{2} i ^{2}} (s i x sin (s i x) - \frac{1}{3} s i x sin^{3} (s i x) + \frac{2}{3} cos (s i x) + \frac{1}{9} cos^{3} (s i x))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= n^{3} \frac{1}{s ^{2} i ^{2}} (s i x sin (s i x) - \frac{1}{3} s i x sin^{3} (s i x) + \frac{2}{3} cos (s i x) + \frac{1}{9} cos^{3} (s i x)) + C