integral of (1/(1+sin(x)))

Lösung

\int (\frac{1}{1 + sin ( x )}) d x

- \frac{2}{tan ( \frac{x}{2} ) + 1} + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{1 + sin ( x )} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{2}{1 + u ^{2} + 2 u} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{1}{1 + u ^{2} + 2 u} d u

Vervollständige das Quadrat

1 + u^{2} + 2 u : (u + 1)^{2}

= 2 \cdot \int \frac{1}{( u + 1 ) ^{2}} d u

Wende U-Substitution an

= 2 \cdot \int \frac{1}{v ^{2}} d v

Wende die Potenzregel an

= 2 (- \frac{1}{v})

Ersetze zurück

= 2 (- \frac{1}{tan ( \frac{x}{2} ) + 1})

Vereinfache

2 (- \frac{1}{tan ( \frac{x}{2} ) + 1}) : - \frac{2}{tan ( \frac{x}{2} ) + 1}

= - \frac{2}{tan ( \frac{x}{2} ) + 1}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - \frac{2}{tan ( \frac{x}{2} ) + 1} + C