integral of x^3sqrt(x-2)

解答

\int x^{3} x - 2 d x

\frac{2}{9} (x - 2)^{\frac{9}{2}} + \frac{12}{7} (x - 2)^{\frac{7}{2}} + \frac{24}{5} (x - 2)^{\frac{5}{2}} + \frac{16}{3} (x - 2)^{\frac{3}{2}} + C

求解步骤

\int x^{3} x - 2 d x

使用换元积分法

= \int (u + 2)^{3} u d u

乘开

(u + 2)^{3} u : u^{\frac{7}{2}} + 6 u^{\frac{5}{2}} + 12 u^{\frac{3}{2}} + 8 u

= \int u^{\frac{7}{2}} + 6 u^{\frac{5}{2}} + 12 u^{\frac{3}{2}} + 8 u d u

使用积分加法定则:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int u^{\frac{7}{2}} d u + \int 6 u^{\frac{5}{2}} d u + \int 12 u^{\frac{3}{2}} d u + \int 8 u d u

\int u^{\frac{7}{2}} d u = \frac{2}{9} u^{\frac{9}{2}}

\int 6 u^{\frac{5}{2}} d u = \frac{12}{7} u^{\frac{7}{2}}

\int 12 u^{\frac{3}{2}} d u = \frac{24}{5} u^{\frac{5}{2}}

\int 8 u d u = \frac{16}{3} u^{\frac{3}{2}}

= \frac{2}{9} u^{\frac{9}{2}} + \frac{12}{7} u^{\frac{7}{2}} + \frac{24}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{16}{3} u^{\frac{3}{2}}

u = x - 2

代回

= \frac{2}{9} (x - 2)^{\frac{9}{2}} + \frac{12}{7} (x - 2)^{\frac{7}{2}} + \frac{24}{5} (x - 2)^{\frac{5}{2}} + \frac{16}{3} (x - 2)^{\frac{3}{2}}

解答补常数

= \frac{2}{9} (x - 2)^{\frac{9}{2}} + \frac{12}{7} (x - 2)^{\frac{7}{2}} + \frac{24}{5} (x - 2)^{\frac{5}{2}} + \frac{16}{3} (x - 2)^{\frac{3}{2}} + C