integral of 1/(x^2)cos^2(1/x)

Lösung

\int \frac{1}{x ^{2}} cos^{2} (\frac{1}{x}) d x

- \frac{1}{4} (\frac{2}{x} + sin (\frac{2}{x})) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{x ^{2}} cos^{2} (\frac{1}{x}) d x

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \int \frac{1 + cos ( \frac{2}{x} )}{2 x ^{2}} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1 + cos ( \frac{2}{x} )}{x ^{2}} d x

Wende U-Substitution an

= \frac{1}{2} \cdot \int - \frac{1 + cos ( u )}{2} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (u) d u)

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} (\int 1 d u + \int cos (u) d u))

\int 1 d u = u

\int cos (u) d u = sin (u)

= \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} (u + sin (u)))

Setze in

u = \frac{2}{x}

ein

= \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} (\frac{2}{x} + sin (\frac{2}{x})))

Vereinfache

\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} (\frac{2}{x} + sin (\frac{2}{x}))) : - \frac{1}{4} (\frac{2}{x} + sin (\frac{2}{x}))

= - \frac{1}{4} (\frac{2}{x} + sin (\frac{2}{x}))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - \frac{1}{4} (\frac{2}{x} + sin (\frac{2}{x})) + C