English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

интеграл от e^{-x/4}sin(pi/4 x)

Решение

\int e^{- \frac{x}{4}} sin (\frac{π}{4} x) d x

- \frac{4}{π ^{3} + π} e^{- \frac{x}{4}} (π sin (\frac{π x}{4}) - cos (\frac{π x}{4})) - \frac{4}{π} e^{- \frac{x}{4}} cos (\frac{π}{4} x) + C

Шаги решения

\int e^{- \frac{x}{4}} sin (\frac{π}{4} x) d x

Применить интегрирование по частям

= - \frac{4}{π} e^{- \frac{x}{4}} cos (\frac{π}{4} x) - \int \frac{1}{π} e^{- \frac{x}{4}} cos (\frac{π}{4} x) d x

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \frac{4}{π} e^{- \frac{x}{4}} cos (\frac{π}{4} x) - \frac{1}{π} \cdot \int e^{- \frac{x}{4}} cos (\frac{π}{4} x) d x

Применить интегрирование по частям

= - \frac{4}{π} e^{- \frac{x}{4}} cos (\frac{π}{4} x) - \frac{1}{π} (\frac{4}{π} e^{- \frac{x}{4}} sin (\frac{π x}{4}) - \int - \frac{1}{π} e^{- \frac{x}{4}} sin (\frac{π x}{4}) d x)

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \frac{4}{π} e^{- \frac{x}{4}} cos (\frac{π}{4} x) - \frac{1}{π} (\frac{4}{π} e^{- \frac{x}{4}} sin (\frac{π x}{4}) - (- \frac{1}{π} \cdot \int e^{- \frac{x}{4}} sin (\frac{π x}{4}) d x))

Применить подстановку интеграла

= - \frac{4}{π} e^{- \frac{x}{4}} cos (\frac{π}{4} x) - \frac{1}{π} (\frac{4}{π} e^{- \frac{x}{4}} sin (\frac{π x}{4}) - (- \frac{1}{π} \cdot \int 4 e^{- u} sin (π u) d u))

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \frac{4}{π} e^{- \frac{x}{4}} cos (\frac{π}{4} x) - \frac{1}{π} (\frac{4}{π} e^{- \frac{x}{4}} sin (\frac{π x}{4}) - (- \frac{1}{π} \cdot 4 \cdot \int e^{- u} sin (π u) d u))

Применить интегрирование по частям

= - \frac{4}{π} e^{- \frac{x}{4}} cos (\frac{π}{4} x) - \frac{1}{π} (\frac{4}{π} e^{- \frac{x}{4}} sin (\frac{π x}{4}) - (- \frac{1}{π} \cdot 4 (- \frac{1}{π} e^{- u} cos (π u) - \int \frac{1}{π} e^{- u} cos (π u) d u)))

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \frac{4}{π} e^{- \frac{x}{4}} cos (\frac{π}{4} x) - \frac{1}{π} (\frac{4}{π} e^{- \frac{x}{4}} sin (\frac{π x}{4}) - (- \frac{1}{π} \cdot 4 (- \frac{1}{π} e^{- u} cos (π u) - \frac{1}{π} \cdot \int e^{- u} cos (π u) d u)))

Применить интегрирование по частям

= - \frac{4}{π} e^{- \frac{x}{4}} cos (\frac{π}{4} x) - \frac{1}{π} (\frac{4}{π} e^{- \frac{x}{4}} sin (\frac{π x}{4}) - (- \frac{1}{π} \cdot 4 (- \frac{1}{π} e^{- u} cos (π u) - \frac{1}{π} (\frac{1}{π} e^{- u} sin (π u) - \int - \frac{1}{π} e^{- u} sin (π u) d u))))

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \frac{4}{π} e^{- \frac{x}{4}} cos (\frac{π}{4} x) - \frac{1}{π} (\frac{4}{π} e^{- \frac{x}{4}} sin (\frac{π x}{4}) - (- \frac{1}{π} \cdot 4 (- \frac{1}{π} e^{- u} cos (π u) - \frac{1}{π} (\frac{1}{π} e^{- u} sin (π u) - (- \frac{1}{π} \cdot \int e^{- u} sin (π u) d u)))))

Поэтому

- (- (- 4 \cdot \frac{1}{π} \cdot \int e^{- u} sin (π u) d u) + \frac{4}{π} sin (\frac{x π}{4}) e^{- \frac{x}{4}}) \frac{1}{π} - cos (\frac{π}{4} x) \frac{4}{π} e^{- \frac{x}{4}} = - \frac{4}{π} e^{- \frac{x}{4}} cos (\frac{π}{4} x) - \frac{1}{π} (\frac{4}{π} e^{- \frac{x}{4}} sin (\frac{π x}{4}) - (- \frac{1}{π} \cdot 4 (- \frac{1}{π} e^{- u} cos (π u) - \frac{1}{π} (\frac{1}{π} e^{- u} sin (π u) - (- \frac{1}{π} \cdot \int e^{- u} sin (π u) d u)))))

Отделять

\int e^{- u} sin (π u) d u

= - (- (- 4 \cdot \frac{1}{π} (- \frac{π e ^{- u} cos ( π u )}{π ^{2} + 1} - \frac{e ^{- u} sin ( π u )}{π ^{2} + 1})) + \frac{4}{π} sin (\frac{x π}{4}) e^{- \frac{x}{4}}) \frac{1}{π} - cos (\frac{π}{4} x) \frac{4}{π} e^{- \frac{x}{4}}

Делаем обратную замену

u = \frac{x}{4}

= - (- (- 4 \cdot \frac{1}{π} (- \frac{π e ^{- \frac{x}{4}} cos ( π \frac{x}{4} )}{π ^{2} + 1} - \frac{e ^{- \frac{x}{4}} sin ( π \frac{x}{4} )}{π ^{2} + 1})) + \frac{4}{π} sin (\frac{x π}{4}) e^{- \frac{x}{4}}) \frac{1}{π} - cos (\frac{π}{4} x) \frac{4}{π} e^{- \frac{x}{4}}

Упростите

- (- (- 4 \cdot \frac{1}{π} (- \frac{π e ^{- \frac{x}{4}} cos ( π \frac{x}{4} )}{π ^{2} + 1} - \frac{e ^{- \frac{x}{4}} sin ( π \frac{x}{4} )}{π ^{2} + 1})) + \frac{4}{π} sin (\frac{x π}{4}) e^{- \frac{x}{4}}) \frac{1}{π} - cos (\frac{π}{4} x) \frac{4}{π} e^{- \frac{x}{4}} : - \frac{4}{π ^{3} + π} e^{- \frac{x}{4}} (π sin (\frac{π x}{4}) - cos (\frac{π x}{4})) - \frac{4}{π} e^{- \frac{x}{4}} cos (\frac{π}{4} x)

= - \frac{4}{π ^{3} + π} e^{- \frac{x}{4}} (π sin (\frac{π x}{4}) - cos (\frac{π x}{4})) - \frac{4}{π} e^{- \frac{x}{4}} cos (\frac{π}{4} x)

Добавить константу к решению

= - \frac{4}{π ^{3} + π} e^{- \frac{x}{4}} (π sin (\frac{π x}{4}) - cos (\frac{π x}{4})) - \frac{4}{π} e^{- \frac{x}{4}} cos (\frac{π}{4} x) + C