integral of sin(arccos(x))

Lösung

\int sin (arccos (x)) d x

\frac{1}{2} (arcsin (x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (x))) + C

Schritte zur Lösung

\int sin (arccos (x)) d x

Verwende die folgende Identität:

sin (arccos (x)) = 1 - x^{2}

= \int 1 - x^{2} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int cos^{2} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \int \frac{1 + cos ( 2 u )}{2} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{2} (\int 1 d u + \int cos (2 u) d u)

\int 1 d u = u

\int cos (2 u) d u = \frac{1}{2} sin (2 u)

= \frac{1}{2} (u + \frac{1}{2} sin (2 u))

Setze in

u = arcsin (x)

ein

= \frac{1}{2} (arcsin (x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (x)))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{2} (arcsin (x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (x))) + C

\int 3 e^{- t} d t

5 x y \frac{d y}{d x} = 4

in v erse l a pl a ce \frac{e ^{- s}}{s ^{2}}

\int - x^{2} sin (x) d x

\frac{\partial}{\partial x} (\frac{e ^{7 - x}}{y ^{5}})