integral of 1/((x^2-4x)^{3/2)}

Lösung

\int \frac{1}{( x ^{2} - 4 x ) ^{\frac{3}{2}}} d x

- \frac{x - 2}{4 ( x ^{2} - 4 x ) ^{\frac{1}{2}}} + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{( x ^{2} - 4 x ) ^{\frac{3}{2}}} d x

Vervollständige das Quadrat

x^{2} - 4 x : (x - 2)^{2} - 4

= \int \frac{1}{( ( x - 2 ) ^{2} - 4 ) ^{\frac{3}{2}}} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{1}{( u ^{2} - 4 ) ^{\frac{3}{2}}} d u

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int \frac{sec ( v )}{4 tan ^{2} ( v )} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{4} \cdot \int \frac{sec ( v )}{tan ^{2} ( v )} d v

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{1}{4} \cdot \int \frac{cos ( v )}{sin ^{2} ( v )} d v

Wende U-Substitution an

= \frac{1}{4} \cdot \int \frac{1}{w ^{2}} d w

Wende die Potenzregel an

= \frac{1}{4} (- \frac{1}{w})

Ersetze zurück

= \frac{1}{4} (- \frac{1}{sin ( arcsec ( \frac{1}{2} ( x - 2 ) ) )})

Vereinfache

\frac{1}{4} (- \frac{1}{sin ( arcsec ( \frac{1}{2} ( x - 2 ) ) )}) : - \frac{x - 2}{4 ( x ^{2} - 4 x ) ^{\frac{1}{2}}}

= - \frac{x - 2}{4 ( x ^{2} - 4 x ) ^{\frac{1}{2}}}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - \frac{x - 2}{4 ( x ^{2} - 4 x ) ^{\frac{1}{2}}} + C