derivative of e^{-x}(cos(2x+sin(2x)))

解

\frac{d}{d x} (e^{- x} (cos (2 x) + sin (2 x)))

e^{- x} cos (2 x) - 3 e^{- x} sin (2 x)

解答ステップ

\frac{d}{d x} (e^{- x} (cos (2 x) + sin (2 x)))

積の法則を適用:

(f \cdot g)^{'} = f^{'} \cdot g + f \cdot g^{'}

f = e^{- x}, g = cos (2 x) + sin (2 x)

= \frac{d}{d x} (e^{- x}) (cos (2 x) + sin (2 x)) + \frac{d}{d x} (cos (2 x) + sin (2 x)) e^{- x}

\frac{d}{d x} (e^{- x}) = - e^{- x}

\frac{d}{d x} (cos (2 x) + sin (2 x)) = - sin (2 x) \cdot 2 + cos (2 x) \cdot 2

= (- e^{- x}) (cos (2 x) + sin (2 x)) + (- sin (2 x) \cdot 2 + cos (2 x) \cdot 2) e^{- x}

簡素化

(- e^{- x}) (cos (2 x) + sin (2 x)) + (- sin (2 x) \cdot 2 + cos (2 x) \cdot 2) e^{- x} : e^{- x} cos (2 x) - 3 e^{- x} sin (2 x)

= e^{- x} cos (2 x) - 3 e^{- x} sin (2 x)