integral of (5+x^4)sin(1/2 x)

解

\int (5 + x^{4}) sin (\frac{1}{2} x) d x

- 2 x^{4} cos (\frac{x}{2}) + 16 x^{3} sin (\frac{x}{2}) + 96 x^{2} cos (\frac{x}{2}) - 384 x sin (\frac{x}{2}) - 778 cos (\frac{x}{2}) + C

解答ステップ

\int (5 + x^{4}) sin (\frac{1}{2} x) d x

拡張

(5 + x^{4}) sin (\frac{1}{2} x) : 5 sin (\frac{x}{2}) + x^{4} sin (\frac{x}{2})

= \int 5 sin (\frac{x}{2}) + x^{4} sin (\frac{x}{2}) d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int 5 sin (\frac{x}{2}) d x + \int x^{4} sin (\frac{x}{2}) d x

\int 5 sin (\frac{x}{2}) d x = - 10 cos (\frac{x}{2})

\int x^{4} sin (\frac{x}{2}) d x = - 2 x^{4} cos (\frac{x}{2}) + 8 (2 x^{3} sin (\frac{x}{2}) - 6 (- 2 x^{2} cos (\frac{x}{2}) + 16 (\frac{1}{2} x sin (\frac{x}{2}) + cos (\frac{x}{2}))))

= - 10 cos (\frac{x}{2}) - 2 x^{4} cos (\frac{x}{2}) + 8 (2 x^{3} sin (\frac{x}{2}) - 6 (- 2 x^{2} cos (\frac{x}{2}) + 16 (\frac{1}{2} x sin (\frac{x}{2}) + cos (\frac{x}{2}))))

簡素化

- 10 cos (\frac{x}{2}) - 2 x^{4} cos (\frac{x}{2}) + 8 (2 x^{3} sin (\frac{x}{2}) - 6 (- 2 x^{2} cos (\frac{x}{2}) + 16 (\frac{1}{2} x sin (\frac{x}{2}) + cos (\frac{x}{2})))) : - 2 x^{4} cos (\frac{x}{2}) + 16 x^{3} sin (\frac{x}{2}) + 96 x^{2} cos (\frac{x}{2}) - 384 x sin (\frac{x}{2}) - 778 cos (\frac{x}{2})

= - 2 x^{4} cos (\frac{x}{2}) + 16 x^{3} sin (\frac{x}{2}) + 96 x^{2} cos (\frac{x}{2}) - 384 x sin (\frac{x}{2}) - 778 cos (\frac{x}{2})

定数を解答に追加する

= - 2 x^{4} cos (\frac{x}{2}) + 16 x^{3} sin (\frac{x}{2}) + 96 x^{2} cos (\frac{x}{2}) - 384 x sin (\frac{x}{2}) - 778 cos (\frac{x}{2}) + C