inverselaplace ((s+2))/((s^2+2s+2))

解答

的拉普拉斯逆变换

\frac{( s + 2 )}{( s ^{2} + 2 s + 2 )}

e^{- t} cos (t) + e^{- t} sin (t)

求解步骤

L^{- 1} {\frac{( s + 2 )}{( s ^{2} + 2 s + 2 )}}

展开

\frac{s + 2}{s ^{2} + 2 s + 2} : \frac{s + 1}{( s + 1 ) ^{2} + 1} + 1 \cdot \frac{1}{( s + 1 ) ^{2} + 1}

= L^{- 1} {\frac{s + 1}{( s + 1 ) ^{2} + 1} + 1 \cdot \frac{1}{( s + 1 ) ^{2} + 1}}

利用逆拉普拉斯变换的线性特性:

对于函数

f (s), g (s)

和常数

a, b : L^{- 1} {a \cdot f (s) + b \cdot g (s)} = a \cdot L^{- 1} {f (s)} + b \cdot L^{- 1} {g (s)}

= L^{- 1} {\frac{s + 1}{( s + 1 ) ^{2} + 1}} + 1 \cdot L^{- 1} {\frac{1}{( s + 1 ) ^{2} + 1}}

L^{- 1} {\frac{s + 1}{( s + 1 ) ^{2} + 1}} : e^{- t} cos (t)

L^{- 1} {\frac{1}{( s + 1 ) ^{2} + 1}} : e^{- t} sin (t)

= e^{- t} cos (t) + 1 \cdot e^{- t} sin (t)

整理

e^{- t} cos (t) + 1 e^{- t} sin (t) : e^{- t} cos (t) + e^{- t} sin (t)

= e^{- t} cos (t) + e^{- t} sin (t)