integral of (x^5+x)/(x+1)

解

\int \frac{x ^{5} + x}{x + 1} d x

\frac{x ^{5}}{5} - \frac{x ^{4}}{4} + \frac{x ^{3}}{3} - \frac{x ^{2}}{2} + 2 x - 2 ln ∣ x + 1 ∣ + 1 + C

解答ステップ

\int \frac{x ^{5} + x}{x + 1} d x

拡張

\frac{x ^{5} + x}{x + 1} : \frac{x ^{5}}{x + 1} + \frac{x}{x + 1}

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{x ^{5}}{x + 1} d x + \int \frac{x}{x + 1} d x

\int \frac{x ^{5}}{x + 1} d x = \frac{x ^{5}}{5} - \frac{x ^{4}}{4} + \frac{x ^{3}}{3} - \frac{x ^{2}}{2} + x - ln ∣ x + 1 ∣

\int \frac{x}{x + 1} d x = x + 1 - ln ∣ x + 1 ∣

= \frac{x ^{5}}{5} - \frac{x ^{4}}{4} + \frac{x ^{3}}{3} - \frac{x ^{2}}{2} + x - ln ∣ x + 1 ∣ + x + 1 - ln ∣ x + 1 ∣

簡素化

= \frac{x ^{5}}{5} - \frac{x ^{4}}{4} + \frac{x ^{3}}{3} - \frac{x ^{2}}{2} + 2 x - 2 ln ∣ x + 1 ∣ + 1

定数を解答に追加する

= \frac{x ^{5}}{5} - \frac{x ^{4}}{4} + \frac{x ^{3}}{3} - \frac{x ^{2}}{2} + 2 x - 2 ln ∣ x + 1 ∣ + 1 + C