inverselaplace ((s^2+5))/((s^2+5s+16))

Lösung

inverse laplace transformation

\frac{( s ^{2} + 5 )}{( s ^{2} + 5 s + 16 )}

δ (t) - 5 e^{- \frac{5 t}{2}} cos (\frac{39 t}{2}) + \frac{3 e ^{- \frac{5 t}{2}} sin ( \frac{39 t}{2} )}{13}

Schritte zur Lösung

L^{- 1} {\frac{( s ^{2} + 5 )}{( s ^{2} + 5 s + 16 )}}

Ermittle den Partialbruch von

\frac{s ^{2} + 5}{s ^{2} + 5 s + 16} : 1 + \frac{- 5 s - 11}{s ^{2} + 5 s + 16}

= L^{- 1} {1 + \frac{- 5 s - 11}{s ^{2} + 5 s + 16}}

Schreibe

\frac{- 5 s - 11}{s ^{2} + 5 s + 16}

um:

- 5 \cdot \frac{s + \frac{5}{2}}{( s + \frac{5}{2} ) ^{2} + \frac{39}{4}} + \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{( s + \frac{5}{2} ) ^{2} + \frac{39}{4}}

= L^{- 1} {1 - 5 \cdot \frac{s + \frac{5}{2}}{( s + \frac{5}{2} ) ^{2} + \frac{39}{4}} + \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{( s + \frac{5}{2} ) ^{2} + \frac{39}{4}}}

Wende die lineare Eigenschaftder inversen Laplace-Transformation an:

Für Funktionen

f (s), g (s)

und Konstanten

a, b : L^{- 1} {a \cdot f (s) + b \cdot g (s)} = a \cdot L^{- 1} {f (s)} + b \cdot L^{- 1} {g (s)}

= L^{- 1} {1} - 5 L^{- 1} {\frac{s + \frac{5}{2}}{( s + \frac{5}{2} ) ^{2} + \frac{39}{4}}} + \frac{3}{2} L^{- 1} {\frac{1}{( s + \frac{5}{2} ) ^{2} + \frac{39}{4}}}

L^{- 1} {1} : δ (t)

L^{- 1} {\frac{s + \frac{5}{2}}{( s + \frac{5}{2} ) ^{2} + \frac{39}{4}}} : e^{- \frac{5 t}{2}} cos (\frac{39 t}{2})

L^{- 1} {\frac{1}{( s + \frac{5}{2} ) ^{2} + \frac{39}{4}}} : e^{- \frac{5 t}{2}} \frac{2}{39} sin (\frac{39 t}{2})

= δ (t) - 5 e^{- \frac{5 t}{2}} cos (\frac{39 t}{2}) + \frac{3}{2} e^{- \frac{5 t}{2}} \frac{2}{39} sin (\frac{39 t}{2})

Fasse

δ (t) - 5 e^{- \frac{5 t}{2}} cos (\frac{39 t}{2}) + \frac{3}{2} e^{- \frac{5 t}{2}} \frac{2}{39} sin (\frac{39 t}{2})

zusammen:

δ (t) - 5 e^{- \frac{5 t}{2}} cos (\frac{39 t}{2}) + \frac{3 e ^{- \frac{5 t}{2}} sin ( \frac{39 t}{2} )}{13}

= δ (t) - 5 e^{- \frac{5 t}{2}} cos (\frac{39 t}{2}) + \frac{3 e ^{- \frac{5 t}{2}} sin ( \frac{39 t}{2} )}{13}