limit as x approaches infinity of x^4e^{-x^3}

Soluzione

x \to \infty lim (x^{4} e^{- x^{3}})

0

Fasi della soluzione

x \to \infty lim (x^{4} e^{- x^{3}})

Riscrivi con la regola di L'Hopital

= x \to \infty lim (\frac{x ^{4}}{\frac{1}{e ^{- x^{3}}}})

Applica la regola di L'Hopital:

= x \to \infty lim (\frac{4 x ^{3}}{e ^{x^{3}} \cdot 3 x ^{2}})

Applica la regola di L'Hopital:

= x \to \infty lim (\frac{12 x ^{2}}{3 ( 3 e ^{x^{3}} x ^{4} + 2 e ^{x^{3}} x )})

Applica la regola di L'Hopital:

= x \to \infty lim (\frac{24 x}{3 ( 9 e ^{x^{3}} x ^{6} + 18 e ^{x^{3}} x ^{3} + 2 e ^{x^{3}} )})

Applica la regola di L'Hopital:

= x \to \infty lim (\frac{24}{3 ( 27 e ^{x^{3}} x ^{8} + 108 e ^{x^{3}} x ^{5} + 60 e ^{x^{3}} x ^{2} )})

Semplificare

= x \to \infty lim (\frac{8}{27 e ^{x^{3}} x ^{8} + 108 e ^{x^{3}} x ^{5} + 60 e ^{x^{3}} x ^{2}})

x \to a lim [c \cdot f (x)] = c \cdot x \to a lim f (x)

= 8 \cdot x \to \infty lim (\frac{1}{27 e ^{x^{3}} x ^{8} + 108 e ^{x^{3}} x ^{5} + 60 e ^{x^{3}} x ^{2}})

x \to a lim [\frac{f ( x )}{g ( x )}] = \frac{lim _{x \to a} f ( x )}{lim _{x \to a} g ( x )}, x \to a lim g (x) \neq = 0

Con l'eccezione della forma indeterminata

= 8 \cdot \frac{lim _{x \to \infty} ( 1 )}{lim _{x \to \infty} ( 27 e ^{x^{3}} x ^{8} + 108 e ^{x^{3}} x ^{5} + 60 e ^{x^{3}} x ^{2} )}

x \to \infty lim (1) = 1

x \to \infty lim (27 e^{x^{3}} x^{8} + 108 e^{x^{3}} x^{5} + 60 e^{x^{3}} x^{2}) = \infty

= 8 \cdot \frac{1}{\infty}

Semplificare

8 \cdot \frac{1}{\infty} : 0

= 0